Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8135 / 25803
↖ ↑ ↗
← S 71.339499°
W 90.626221°		 ← 390.88 m → S 71.339499°
W 90.615234°		 →
↑
390.80 m
↓
↑
390.80 m
↓
S 71.343013°
W 90.626221°		 ← 390.80 m →
152 739 m²		 S 71.343013°
W 90.615234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248275756835938 y=0.787460327148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248275756835938 × 215)
    floor (0.248275756835938 × 32768)
    floor (8135.5)     		tx = 8135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787460327148438 × 215)
    floor (0.787460327148438 × 32768)
    floor (25803.5)     		ty = 25803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8135 / 25803 ti = "15/8135/25803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8135/25803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8135 ÷ 215
    8135 ÷ 32768     		x = 0.248260498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25803 ÷ 215
    25803 ÷ 32768     		y = 0.787445068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.248260498046875 × 2 - 1) × π
    -0.50347900390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.58172594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.57489013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80607063008524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58172594} λ = -1.58172594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80607063008524))-π/2
    2×atan(0.164298459506381)-π/2
    2×0.162843594705126-π/2
    0.325687189410253-1.57079632675     		φ = -1.24510914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58172594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.626221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24510914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.339499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8135 KachelY 25803 -1.58172594 -1.24510914 -90.626221 -71.339499
    Oben rechts KachelX + 1 8136 KachelY 25803 -1.58153419 -1.24510914 -90.615234 -71.339499
    Unten links KachelX 8135 KachelY + 1 25804 -1.58172594 -1.24517048 -90.626221 -71.343013
    Unten rechts KachelX + 1 8136 KachelY + 1 25804 -1.58153419 -1.24517048 -90.615234 -71.343013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24510914--1.24517048) × R
    6.13400000000208e-05 × 6371000     		dl = 390.797140000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24510914--1.24517048) × R
    6.13400000000208e-05 × 6371000     		dr = 390.797140000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58172594--1.58153419) × cos(-1.24510914) × R
    0.000191750000000157 × 0.319959923478211 × 6371000     		do = 390.875600948299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58172594--1.58153419) × cos(-1.24517048) × R
    0.000191750000000157 × 0.319901807453989 × 6371000     		du = 390.804604132056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24510914)-sin(-1.24517048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319959923478211-0.319901807453989)×R²
    abs(-1.58153419--1.58172594)×5.81160242217327e-05×R²
    0.000191750000000157×5.81160242217327e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.81160242217327e-05×40589641000000     		ar = 152739.194317786m²