Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81340 / 19660
↖ ↑ ↗
← N 77.343850°
E 43.406982°		 ← 66.92 m → N 77.343850°
E 43.409729°		 →
↑
66.90 m
↓
↑
66.90 m
↓
N 77.343248°
E 43.406982°		 ← 66.92 m →
4 477 m²		 N 77.343248°
E 43.409729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620578765869141 y=0.149997711181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620578765869141 × 217)
    floor (0.620578765869141 × 131072)
    floor (81340.5)     		tx = 81340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149997711181641 × 217)
    floor (0.149997711181641 × 131072)
    floor (19660.5)     		ty = 19660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81340 / 19660 ti = "17/81340/19660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81340/19660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81340 ÷ 217
    81340 ÷ 131072     		x = 0.620574951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19660 ÷ 217
    19660 ÷ 131072     		y = 0.149993896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620574951171875 × 2 - 1) × π
    0.24114990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.75759476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149993896484375 × 2 - 1) × π
    0.70001220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.1991532069697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75759476} λ = 0.75759476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1991532069697))-π/2
    2×atan(9.0173744157223)-π/2
    2×1.46035058545535-π/2
    2.92070117091069-1.57079632675     		φ = 1.34990484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75759476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.406982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34990484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.343850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81340 KachelY 19660 0.75759476 1.34990484 43.406982 77.343850
    Oben rechts KachelX + 1 81341 KachelY 19660 0.75764270 1.34990484 43.409729 77.343850
    Unten links KachelX 81340 KachelY + 1 19661 0.75759476 1.34989434 43.406982 77.343248
    Unten rechts KachelX + 1 81341 KachelY + 1 19661 0.75764270 1.34989434 43.409729 77.343248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34990484-1.34989434) × R
    1.04999999999134e-05 × 6371000     		dl = 66.895499999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34990484-1.34989434) × R
    1.04999999999134e-05 × 6371000     		dr = 66.895499999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75759476-0.75764270) × cos(1.34990484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219099535936033 × 6371000     		do = 66.9186378968756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75759476-0.75764270) × cos(1.34989434) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219109780800338 × 6371000     		du = 66.9217669421373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34990484)-sin(1.34989434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219099535936033-0.219109780800338)×R²
    abs(0.75764270-0.75759476)×1.02448643055641e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02448643055641e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02448643055641e-05×40589641000000     		ar = 4476.66040086247m²