Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81339 / 19661
↖ ↑ ↗
← N 77.343248°
E 43.404236°		 ← 66.92 m → N 77.343248°
E 43.406982°		 →
↑
66.90 m
↓
↑
66.90 m
↓
N 77.342647°
E 43.404236°		 ← 66.92 m →
4 477 m²		 N 77.342647°
E 43.406982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620571136474609 y=0.150005340576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620571136474609 × 217)
    floor (0.620571136474609 × 131072)
    floor (81339.5)     		tx = 81339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150005340576172 × 217)
    floor (0.150005340576172 × 131072)
    floor (19661.5)     		ty = 19661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81339 / 19661 ti = "17/81339/19661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81339/19661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81339 ÷ 217
    81339 ÷ 131072     		x = 0.620567321777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19661 ÷ 217
    19661 ÷ 131072     		y = 0.150001525878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620567321777344 × 2 - 1) × π
    0.241134643554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.75754682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150001525878906 × 2 - 1) × π
    0.699996948242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.19910527007008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75754682} λ = 0.75754682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19910527007008))-π/2
    2×atan(9.01694216111065)-π/2
    2×1.4603453338564-π/2
    2.9206906677128-1.57079632675     		φ = 1.34989434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75754682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.404236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34989434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.343248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81339 KachelY 19661 0.75754682 1.34989434 43.404236 77.343248
    Oben rechts KachelX + 1 81340 KachelY 19661 0.75759476 1.34989434 43.406982 77.343248
    Unten links KachelX 81339 KachelY + 1 19662 0.75754682 1.34988384 43.404236 77.342647
    Unten rechts KachelX + 1 81340 KachelY + 1 19662 0.75759476 1.34988384 43.406982 77.342647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34989434-1.34988384) × R
    1.05000000001354e-05 × 6371000     		dl = 66.8955000008626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34989434-1.34988384) × R
    1.05000000001354e-05 × 6371000     		dr = 66.8955000008626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75754682-0.75759476) × cos(1.34989434) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.219109780800338 × 6371000     		do = 66.9217669422923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75754682-0.75759476) × cos(1.34988384) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.219120025640487 × 6371000     		du = 66.9248959801759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34989434)-sin(1.34988384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219109780800338-0.219120025640487)×R²
    abs(0.75759476-0.75754682)×1.02448401489152e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.02448401489152e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.02448401489152e-05×40589641000000     		ar = 4476.86971989671m²