Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81335 / 115017
↖ ↑ ↗
← S 79.339793°
E 43.393250°		 ← 56.49 m → S 79.339793°
E 43.395996°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
S 79.340301°
E 43.393250°		 ← 56.48 m →
3 192 m²		 S 79.340301°
E 43.395996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620540618896484 y=0.877513885498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620540618896484 × 217)
    floor (0.620540618896484 × 131072)
    floor (81335.5)     		tx = 81335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877513885498047 × 217)
    floor (0.877513885498047 × 131072)
    floor (115017.5)     		ty = 115017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81335 / 115017 ti = "17/81335/115017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81335/115017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81335 ÷ 217
    81335 ÷ 131072     		x = 0.620536804199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115017 ÷ 217
    115017 ÷ 131072     		y = 0.877510070800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620536804199219 × 2 - 1) × π
    0.241073608398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.75735508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877510070800781 × 2 - 1) × π
    -0.755020141601562 × 3.1415926535     		Φ = -2.3719657301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75735508} λ = 0.75735508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3719657301))-π/2
    2×atan(0.0932971488915545)-π/2
    2×0.0930278566471577-π/2
    0.186055713294315-1.57079632675     		φ = -1.38474061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75735508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.393250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38474061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.339793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81335 KachelY 115017 0.75735508 -1.38474061 43.393250 -79.339793
    Oben rechts KachelX + 1 81336 KachelY 115017 0.75740301 -1.38474061 43.395996 -79.339793
    Unten links KachelX 81335 KachelY + 1 115018 0.75735508 -1.38474948 43.393250 -79.340301
    Unten rechts KachelX + 1 81336 KachelY + 1 115018 0.75740301 -1.38474948 43.395996 -79.340301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38474061--1.38474948) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dl = 56.5107700003165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38474061--1.38474948) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dr = 56.5107700003165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75735508-0.75740301) × cos(-1.38474061) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184984133135698 × 6371000     		do = 56.4871304121415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75735508-0.75740301) × cos(-1.38474948) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18497541621125 × 6371000     		du = 56.4844685943967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38474061)-sin(-1.38474948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184984133135698-0.18497541621125)×R²
    abs(0.75740301-0.75735508)×8.71692444812111e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.71692444812111e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.71692444812111e-06×40589641000000     		ar = 3192.05602405711m²