Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81331 / 115010
↖ ↑ ↗
← S 79.336236°
E 43.382263°		 ← 56.52 m → S 79.336236°
E 43.385010°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
S 79.336744°
E 43.382263°		 ← 56.51 m →
3 194 m²		 S 79.336744°
E 43.385010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620510101318359 y=0.877460479736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620510101318359 × 217)
    floor (0.620510101318359 × 131072)
    floor (81331.5)     		tx = 81331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877460479736328 × 217)
    floor (0.877460479736328 × 131072)
    floor (115010.5)     		ty = 115010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81331 / 115010 ti = "17/81331/115010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81331/115010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81331 ÷ 217
    81331 ÷ 131072     		x = 0.620506286621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115010 ÷ 217
    115010 ÷ 131072     		y = 0.877456665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620506286621094 × 2 - 1) × π
    0.241012573242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.75716333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877456665039062 × 2 - 1) × π
    -0.754913330078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37163017180266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75716333} λ = 0.75716333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37163017180266))-π/2
    2×atan(0.093328460777171)-π/2
    2×0.0930588982449027-π/2
    0.186117796489805-1.57079632675     		φ = -1.38467853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75716333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.382263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38467853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.336236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81331 KachelY 115010 0.75716333 -1.38467853 43.382263 -79.336236
    Oben rechts KachelX + 1 81332 KachelY 115010 0.75721127 -1.38467853 43.385010 -79.336236
    Unten links KachelX 81331 KachelY + 1 115011 0.75716333 -1.38468740 43.382263 -79.336744
    Unten rechts KachelX + 1 81332 KachelY + 1 115011 0.75721127 -1.38468740 43.385010 -79.336744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38467853--1.38468740) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dl = 56.5107700003165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38467853--1.38468740) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dr = 56.5107700003165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75716333-0.75721127) × cos(-1.38467853) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185045141371984 × 6371000     		do = 56.5175492369058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75716333-0.75721127) × cos(-1.38468740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185036424549412 × 6371000     		du = 56.5148868949212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38467853)-sin(-1.38468740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185045141371984-0.185036424549412)×R²
    abs(0.75721127-0.75716333)×8.71682257228001e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.71682257228001e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.71682257228001e-06×40589641000000     		ar = 3193.77500058427m²