Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81331 / 114867
↖ ↑ ↗
← S 79.263312°
E 43.382263°		 ← 56.90 m → S 79.263312°
E 43.385010°		 →
↑
56.89 m
↓
↑
56.89 m
↓
S 79.263824°
E 43.382263°		 ← 56.90 m →
3 237 m²		 S 79.263824°
E 43.385010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620510101318359 y=0.876369476318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620510101318359 × 217)
    floor (0.620510101318359 × 131072)
    floor (81331.5)     		tx = 81331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876369476318359 × 217)
    floor (0.876369476318359 × 131072)
    floor (114867.5)     		ty = 114867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81331 / 114867 ti = "17/81331/114867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81331/114867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81331 ÷ 217
    81331 ÷ 131072     		x = 0.620506286621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114867 ÷ 217
    114867 ÷ 131072     		y = 0.876365661621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620506286621094 × 2 - 1) × π
    0.241012573242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.75716333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876365661621094 × 2 - 1) × π
    -0.752731323242188 × 3.1415926535     		Φ = -2.36477519515699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75716333} λ = 0.75716333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36477519515699))-π/2
    2×atan(0.0939704230003455)-π/2
    2×0.0936952792468851-π/2
    0.18739055849377-1.57079632675     		φ = -1.38340577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75716333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.382263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38340577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.263312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81331 KachelY 114867 0.75716333 -1.38340577 43.382263 -79.263312
    Oben rechts KachelX + 1 81332 KachelY 114867 0.75721127 -1.38340577 43.385010 -79.263312
    Unten links KachelX 81331 KachelY + 1 114868 0.75716333 -1.38341470 43.382263 -79.263824
    Unten rechts KachelX + 1 81332 KachelY + 1 114868 0.75721127 -1.38341470 43.385010 -79.263824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38340577--1.38341470) × R
    8.93000000012911e-06 × 6371000     		dl = 56.8930300008226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38340577--1.38341470) × R
    8.93000000012911e-06 × 6371000     		dr = 56.8930300008226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75716333-0.75721127) × cos(-1.38340577) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186295770617818 × 6371000     		do = 56.89952359978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75716333-0.75721127) × cos(-1.38341470) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186286996941579 × 6371000     		du = 56.8968438932223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38340577)-sin(-1.38341470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186295770617818-0.186286996941579)×R²
    abs(0.75721127-0.75716333)×8.77367623866587e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.77367623866587e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.77367623866587e-06×40589641000000     		ar = 3237.11007496777m²