Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81330 / 19503
↖ ↑ ↗
← N 77.437983°
E 43.379516°		 ← 66.43 m → N 77.437983°
E 43.382263°		 →
↑
66.45 m
↓
↑
66.45 m
↓
N 77.437385°
E 43.379516°		 ← 66.43 m →
4 414 m²		 N 77.437385°
E 43.382263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620502471923828 y=0.148799896240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620502471923828 × 217)
    floor (0.620502471923828 × 131072)
    floor (81330.5)     		tx = 81330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148799896240234 × 217)
    floor (0.148799896240234 × 131072)
    floor (19503.5)     		ty = 19503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81330 / 19503 ti = "17/81330/19503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81330/19503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81330 ÷ 217
    81330 ÷ 131072     		x = 0.620498657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19503 ÷ 217
    19503 ÷ 131072     		y = 0.148796081542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620498657226562 × 2 - 1) × π
    0.240997314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.75711539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148796081542969 × 2 - 1) × π
    0.702407836914062 × 3.1415926535     		Φ = 2.20667930021005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75711539} λ = 0.75711539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20667930021005))-π/2
    2×atan(9.08549603965931)-π/2
    2×1.46117204705558-π/2
    2.92234409411116-1.57079632675     		φ = 1.35154777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75711539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.379516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35154777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.437983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81330 KachelY 19503 0.75711539 1.35154777 43.379516 77.437983
    Oben rechts KachelX + 1 81331 KachelY 19503 0.75716333 1.35154777 43.382263 77.437983
    Unten links KachelX 81330 KachelY + 1 19504 0.75711539 1.35153734 43.379516 77.437385
    Unten rechts KachelX + 1 81331 KachelY + 1 19504 0.75716333 1.35153734 43.382263 77.437385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35154777-1.35153734) × R
    1.04300000001167e-05 × 6371000     		dl = 66.4495300007437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35154777-1.35153734) × R
    1.04300000001167e-05 × 6371000     		dr = 66.4495300007437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75711539-0.75716333) × cos(1.35154777) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217496230029188 × 6371000     		do = 66.4289470038315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75711539-0.75716333) × cos(1.35153734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217506410335267 × 6371000     		du = 66.432056331349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35154777)-sin(1.35153734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217496230029188-0.217506410335267)×R²
    abs(0.75716333-0.75711539)×1.01803060785222e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01803060785222e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01803060785222e-05×40589641000000     		ar = 4414.27561369224m²