Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81330 / 114866
↖ ↑ ↗
← S 79.262800°
E 43.379516°		 ← 56.90 m → S 79.262800°
E 43.382263°		 →
↑
56.89 m
↓
↑
56.89 m
↓
S 79.263312°
E 43.379516°		 ← 56.90 m →
3 237 m²		 S 79.263312°
E 43.382263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620502471923828 y=0.876361846923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620502471923828 × 217)
    floor (0.620502471923828 × 131072)
    floor (81330.5)     		tx = 81330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876361846923828 × 217)
    floor (0.876361846923828 × 131072)
    floor (114866.5)     		ty = 114866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81330 / 114866 ti = "17/81330/114866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81330/114866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81330 ÷ 217
    81330 ÷ 131072     		x = 0.620498657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114866 ÷ 217
    114866 ÷ 131072     		y = 0.876358032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620498657226562 × 2 - 1) × π
    0.240997314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.75711539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876358032226562 × 2 - 1) × π
    -0.752716064453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36472725825737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75711539} λ = 0.75711539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36472725825737))-π/2
    2×atan(0.0939749277590513)-π/2
    2×0.0936997445729054-π/2
    0.187399489145811-1.57079632675     		φ = -1.38339684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75711539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.379516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38339684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.262800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81330 KachelY 114866 0.75711539 -1.38339684 43.379516 -79.262800
    Oben rechts KachelX + 1 81331 KachelY 114866 0.75716333 -1.38339684 43.382263 -79.262800
    Unten links KachelX 81330 KachelY + 1 114867 0.75711539 -1.38340577 43.379516 -79.263312
    Unten rechts KachelX + 1 81331 KachelY + 1 114867 0.75716333 -1.38340577 43.382263 -79.263312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38339684--1.38340577) × R
    8.92999999990707e-06 × 6371000     		dl = 56.8930299994079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38339684--1.38340577) × R
    8.92999999990707e-06 × 6371000     		dr = 56.8930299994079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75711539-0.75716333) × cos(-1.38339684) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1863045442792 × 6371000     		do = 56.9022033018002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75711539-0.75716333) × cos(-1.38340577) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186295770617818 × 6371000     		du = 56.89952359978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38339684)-sin(-1.38340577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1863045442792-0.186295770617818)×R²
    abs(0.75716333-0.75711539)×8.77366138229974e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.77366138229974e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.77366138229974e-06×40589641000000     		ar = 3237.26253128805m²