Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81329 / 19505
↖ ↑ ↗
← N 77.436788°
E 43.376770°		 ← 66.42 m → N 77.436788°
E 43.379516°		 →
↑
66.39 m
↓
↑
66.39 m
↓
N 77.436191°
E 43.376770°		 ← 66.42 m →
4 410 m²		 N 77.436191°
E 43.379516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620494842529297 y=0.148815155029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620494842529297 × 217)
    floor (0.620494842529297 × 131072)
    floor (81329.5)     		tx = 81329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148815155029297 × 217)
    floor (0.148815155029297 × 131072)
    floor (19505.5)     		ty = 19505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81329 / 19505 ti = "17/81329/19505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81329/19505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81329 ÷ 217
    81329 ÷ 131072     		x = 0.620491027832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19505 ÷ 217
    19505 ÷ 131072     		y = 0.148811340332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620491027832031 × 2 - 1) × π
    0.240982055664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.75706746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148811340332031 × 2 - 1) × π
    0.702377319335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.2065834264108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75706746} λ = 0.75706746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2065834264108))-π/2
    2×atan(9.08462502039064)-π/2
    2×1.46116162047266-π/2
    2.92232324094532-1.57079632675     		φ = 1.35152691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75706746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.376770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35152691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.436788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81329 KachelY 19505 0.75706746 1.35152691 43.376770 77.436788
    Oben rechts KachelX + 1 81330 KachelY 19505 0.75711539 1.35152691 43.379516 77.436788
    Unten links KachelX 81329 KachelY + 1 19506 0.75706746 1.35151649 43.376770 77.436191
    Unten rechts KachelX + 1 81330 KachelY + 1 19506 0.75711539 1.35151649 43.379516 77.436191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35152691-1.35151649) × R
    1.04199999999555e-05 × 6371000     		dl = 66.3858199997163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35152691-1.35151649) × R
    1.04199999999555e-05 × 6371000     		dr = 66.3858199997163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75706746-0.75711539) × cos(1.35152691) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217516590617684 × 6371000     		do = 66.4213076697355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75706746-0.75711539) × cos(1.35151649) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217526761115895 × 6371000     		du = 66.4244133537153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35152691)-sin(1.35151649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217516590617684-0.217526761115895)×R²
    abs(0.75711539-0.75706746)×1.01704982108652e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01704982108652e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01704982108652e-05×40589641000000     		ar = 4409.53606185719m²