Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81329 / 115000
↖ ↑ ↗
← S 79.331152°
E 43.376770°		 ← 56.53 m → S 79.331152°
E 43.379516°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
S 79.331661°
E 43.376770°		 ← 56.53 m →
3 198 m²		 S 79.331661°
E 43.379516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620494842529297 y=0.877384185791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620494842529297 × 217)
    floor (0.620494842529297 × 131072)
    floor (81329.5)     		tx = 81329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877384185791016 × 217)
    floor (0.877384185791016 × 131072)
    floor (115000.5)     		ty = 115000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81329 / 115000 ti = "17/81329/115000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81329/115000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81329 ÷ 217
    81329 ÷ 131072     		x = 0.620491027832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115000 ÷ 217
    115000 ÷ 131072     		y = 0.87738037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620491027832031 × 2 - 1) × π
    0.240982055664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.75706746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87738037109375 × 2 - 1) × π
    -0.7547607421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.37115080280646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75706746} λ = 0.75706746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37115080280646))-π/2
    2×atan(0.0933732102726341)-π/2
    2×0.0931032611452539-π/2
    0.186206522290508-1.57079632675     		φ = -1.38458980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75706746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.376770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38458980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.331152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81329 KachelY 115000 0.75706746 -1.38458980 43.376770 -79.331152
    Oben rechts KachelX + 1 81330 KachelY 115000 0.75711539 -1.38458980 43.379516 -79.331152
    Unten links KachelX 81329 KachelY + 1 115001 0.75706746 -1.38459868 43.376770 -79.331661
    Unten rechts KachelX + 1 81330 KachelY + 1 115001 0.75711539 -1.38459868 43.379516 -79.331661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38458980--1.38459868) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dl = 56.5744799999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38458980--1.38459868) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dr = 56.5744799999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75706746-0.75711539) × cos(-1.38458980) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185132338278268 × 6371000     		do = 56.5323866353333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75706746-0.75711539) × cos(-1.38459868) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185123611774212 × 6371000     		du = 56.5297218923398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38458980)-sin(-1.38459868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185132338278268-0.185123611774212)×R²
    abs(0.75711539-0.75706746)×8.72650405672748e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.72650405672748e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.72650405672748e-06×40589641000000     		ar = 3198.21499879595m²