Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81328 / 114998
↖ ↑ ↗
← S 79.330135°
E 43.374024°		 ← 56.55 m → S 79.330135°
E 43.376770°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
S 79.330644°
E 43.374024°		 ← 56.55 m →
3 199 m²		 S 79.330644°
E 43.376770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620487213134766 y=0.877368927001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620487213134766 × 217)
    floor (0.620487213134766 × 131072)
    floor (81328.5)     		tx = 81328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877368927001953 × 217)
    floor (0.877368927001953 × 131072)
    floor (114998.5)     		ty = 114998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81328 / 114998 ti = "17/81328/114998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81328/114998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81328 ÷ 217
    81328 ÷ 131072     		x = 0.6204833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114998 ÷ 217
    114998 ÷ 131072     		y = 0.877365112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6204833984375 × 2 - 1) × π
    0.240966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.75701952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877365112304688 × 2 - 1) × π
    -0.754730224609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.37105492900722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75701952} λ = 0.75701952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37105492900722))-π/2
    2×atan(0.0933821627461972)-π/2
    2×0.093112136233441-π/2
    0.186224272466882-1.57079632675     		φ = -1.38457205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75701952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.374024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38457205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.330135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81328 KachelY 114998 0.75701952 -1.38457205 43.374024 -79.330135
    Oben rechts KachelX + 1 81329 KachelY 114998 0.75706746 -1.38457205 43.376770 -79.330135
    Unten links KachelX 81328 KachelY + 1 114999 0.75701952 -1.38458093 43.374024 -79.330644
    Unten rechts KachelX + 1 81329 KachelY + 1 114999 0.75706746 -1.38458093 43.376770 -79.330644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38457205--1.38458093) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dl = 56.5744799999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38457205--1.38458093) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dr = 56.5744799999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75701952-0.75706746) × cos(-1.38457205) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.185149781415483 × 6371000     		do = 56.5495089997559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75701952-0.75706746) × cos(-1.38458093) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.185141054940607 × 6371000     		du = 56.5468437097095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38457205)-sin(-1.38458093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185149781415483-0.185141054940607)×R²
    abs(0.75706746-0.75701952)×8.72647487548672e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.72647487548672e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.72647487548672e-06×40589641000000     		ar = 3199.18367222332m²