Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8132 / 25814
↖ ↑ ↗
← S 71.378127°
W 90.659180°		 ← 390.07 m → S 71.378127°
W 90.648194°		 →
↑
390.03 m
↓
↑
390.03 m
↓
S 71.381635°
W 90.659180°		 ← 390 m →
152 128 m²		 S 71.381635°
W 90.648194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248184204101562 y=0.787796020507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248184204101562 × 215)
    floor (0.248184204101562 × 32768)
    floor (8132.5)     		tx = 8132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787796020507812 × 215)
    floor (0.787796020507812 × 32768)
    floor (25814.5)     		ty = 25814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8132 / 25814 ti = "15/8132/25814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8132/25814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8132 ÷ 215
    8132 ÷ 32768     		x = 0.2481689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25814 ÷ 215
    25814 ÷ 32768     		y = 0.78778076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2481689453125 × 2 - 1) × π
    -0.503662109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.58230118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78778076171875 × 2 - 1) × π
    -0.5755615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80817985366852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58230118} λ = -1.58230118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80817985366852))-π/2
    2×atan(0.163952282531553)-π/2
    2×0.16250649814955-π/2
    0.3250129962991-1.57079632675     		φ = -1.24578333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58230118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24578333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.378127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8132 KachelY 25814 -1.58230118 -1.24578333 -90.659180 -71.378127
    Oben rechts KachelX + 1 8133 KachelY 25814 -1.58210944 -1.24578333 -90.648194 -71.378127
    Unten links KachelX 8132 KachelY + 1 25815 -1.58230118 -1.24584455 -90.659180 -71.381635
    Unten rechts KachelX + 1 8133 KachelY + 1 25815 -1.58210944 -1.24584455 -90.648194 -71.381635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24578333--1.24584455) × R
    6.12199999998619e-05 × 6371000     		dl = 390.03261999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24578333--1.24584455) × R
    6.12199999998619e-05 × 6371000     		dr = 390.03261999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58230118--1.58210944) × cos(-1.24578333) × R
    0.000191739999999996 × 0.319321102252157 × 6371000     		do = 390.074847917065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58230118--1.58210944) × cos(-1.24584455) × R
    0.000191739999999996 × 0.3192630867304 × 6371000     		du = 390.003977574746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24578333)-sin(-1.24584455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319321102252157-0.3192630867304)×R²
    abs(-1.58210944--1.58230118)×5.80155217573264e-05×R²
    0.000191739999999996×5.80155217573264e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.80155217573264e-05×40589641000000     		ar = 152128.094103414m²