Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81303 / 114967
↖ ↑ ↗
← S 79.314359°
E 43.305359°		 ← 56.62 m → S 79.314359°
E 43.308105°		 →
↑
56.64 m
↓
↑
56.64 m
↓
S 79.314868°
E 43.305359°		 ← 56.62 m →
3 207 m²		 S 79.314868°
E 43.308105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620296478271484 y=0.877132415771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620296478271484 × 217)
    floor (0.620296478271484 × 131072)
    floor (81303.5)     		tx = 81303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877132415771484 × 217)
    floor (0.877132415771484 × 131072)
    floor (114967.5)     		ty = 114967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81303 / 114967 ti = "17/81303/114967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81303/114967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81303 ÷ 217
    81303 ÷ 131072     		x = 0.620292663574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114967 ÷ 217
    114967 ÷ 131072     		y = 0.877128601074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620292663574219 × 2 - 1) × π
    0.240585327148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.75582110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877128601074219 × 2 - 1) × π
    -0.754257202148438 × 3.1415926535     		Φ = -2.369568885119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75582110} λ = 0.75582110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.369568885119))-π/2
    2×atan(0.0935210358986584)-π/2
    2×0.0932498070784698-π/2
    0.18649961415694-1.57079632675     		φ = -1.38429671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75582110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.305359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38429671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.314359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81303 KachelY 114967 0.75582110 -1.38429671 43.305359 -79.314359
    Oben rechts KachelX + 1 81304 KachelY 114967 0.75586903 -1.38429671 43.308105 -79.314359
    Unten links KachelX 81303 KachelY + 1 114968 0.75582110 -1.38430560 43.305359 -79.314868
    Unten rechts KachelX + 1 81304 KachelY + 1 114968 0.75586903 -1.38430560 43.308105 -79.314868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38429671--1.38430560) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dl = 56.6381899995421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38429671--1.38430560) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dr = 56.6381899995421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75582110-0.75586903) × cos(-1.38429671) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18542035385123 × 6371000     		do = 56.6203356553645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75582110-0.75586903) × cos(-1.38430560) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18541161800276 × 6371000     		du = 56.617668058942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38429671)-sin(-1.38430560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18542035385123-0.18541161800276)×R²
    abs(0.75586903-0.75582110)×8.73584846997066e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.73584846997066e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.73584846997066e-06×40589641000000     		ar = 3206.79778479584m²