Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81288 / 114968
↖ ↑ ↗
← S 79.314868°
E 43.264160°		 ← 56.63 m → S 79.314868°
E 43.266907°		 →
↑
56.64 m
↓
↑
56.64 m
↓
S 79.315378°
E 43.264160°		 ← 56.63 m →
3 207 m²		 S 79.315378°
E 43.266907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620182037353516 y=0.877140045166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620182037353516 × 217)
    floor (0.620182037353516 × 131072)
    floor (81288.5)     		tx = 81288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877140045166016 × 217)
    floor (0.877140045166016 × 131072)
    floor (114968.5)     		ty = 114968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81288 / 114968 ti = "17/81288/114968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81288/114968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81288 ÷ 217
    81288 ÷ 131072     		x = 0.62017822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114968 ÷ 217
    114968 ÷ 131072     		y = 0.87713623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62017822265625 × 2 - 1) × π
    0.2403564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.75510204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.7542724609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36961682201862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75510204} λ = 0.75510204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36961682201862))-π/2
    2×atan(0.0935165528975996)-π/2
    2×0.0932453629447597-π/2
    0.186490725889519-1.57079632675     		φ = -1.38430560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75510204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.264160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38430560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.314868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81288 KachelY 114968 0.75510204 -1.38430560 43.264160 -79.314868
    Oben rechts KachelX + 1 81289 KachelY 114968 0.75514998 -1.38430560 43.266907 -79.314868
    Unten links KachelX 81288 KachelY + 1 114969 0.75510204 -1.38431449 43.264160 -79.315378
    Unten rechts KachelX + 1 81289 KachelY + 1 114969 0.75514998 -1.38431449 43.266907 -79.315378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38430560--1.38431449) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dl = 56.6381899995421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38430560--1.38431449) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dr = 56.6381899995421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75510204-0.75514998) × cos(-1.38430560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18541161800276 × 6371000     		do = 56.6294806330531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75510204-0.75514998) × cos(-1.38431449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185402882139636 × 6371000     		du = 56.6268124755941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38430560)-sin(-1.38431449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18541161800276-0.185402882139636)×R²
    abs(0.75514998-0.75510204)×8.73586312344354e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.73586312344354e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.73586312344354e-06×40589641000000     		ar = 3207.31572387635m²