Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81287 / 114966
↖ ↑ ↗
← S 79.313850°
E 43.261414°		 ← 56.62 m → S 79.313850°
E 43.264160°		 →
↑
56.64 m
↓
↑
56.64 m
↓
S 79.314359°
E 43.261414°		 ← 56.62 m →
3 207 m²		 S 79.314359°
E 43.264160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620174407958984 y=0.877124786376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620174407958984 × 217)
    floor (0.620174407958984 × 131072)
    floor (81287.5)     		tx = 81287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877124786376953 × 217)
    floor (0.877124786376953 × 131072)
    floor (114966.5)     		ty = 114966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81287 / 114966 ti = "17/81287/114966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81287/114966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81287 ÷ 217
    81287 ÷ 131072     		x = 0.620170593261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114966 ÷ 217
    114966 ÷ 131072     		y = 0.877120971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620170593261719 × 2 - 1) × π
    0.240341186523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.75505411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877120971679688 × 2 - 1) × π
    -0.754241943359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36952094821938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75505411} λ = 0.75505411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36952094821938))-π/2
    2×atan(0.0935255191146235)-π/2
    2×0.0932542514215287-π/2
    0.186508502843057-1.57079632675     		φ = -1.38428782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75505411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.261414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38428782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.313850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81287 KachelY 114966 0.75505411 -1.38428782 43.261414 -79.313850
    Oben rechts KachelX + 1 81288 KachelY 114966 0.75510204 -1.38428782 43.264160 -79.313850
    Unten links KachelX 81287 KachelY + 1 114967 0.75505411 -1.38429671 43.261414 -79.314359
    Unten rechts KachelX + 1 81288 KachelY + 1 114967 0.75510204 -1.38429671 43.264160 -79.314359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38428782--1.38429671) × R
    8.89000000015017e-06 × 6371000     		dl = 56.6381900009567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38428782--1.38429671) × R
    8.89000000015017e-06 × 6371000     		dr = 56.6381900009567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75505411-0.75510204) × cos(-1.38428782) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185429089685046 × 6371000     		do = 56.6230032473123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75505411-0.75510204) × cos(-1.38429671) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18542035385123 × 6371000     		du = 56.6203356553645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38428782)-sin(-1.38429671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185429089685046-0.18542035385123)×R²
    abs(0.75510204-0.75505411)×8.73583381602594e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.73583381602594e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.73583381602594e-06×40589641000000     		ar = 3206.94887255491m²