Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81276 / 115035
↖ ↑ ↗
← S 79.348934°
E 43.231201°		 ← 56.45 m → S 79.348934°
E 43.233948°		 →
↑
56.45 m
↓
↑
56.45 m
↓
S 79.349442°
E 43.231201°		 ← 56.45 m →
3 186 m²		 S 79.349442°
E 43.233948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620090484619141 y=0.877651214599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620090484619141 × 217)
    floor (0.620090484619141 × 131072)
    floor (81276.5)     		tx = 81276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877651214599609 × 217)
    floor (0.877651214599609 × 131072)
    floor (115035.5)     		ty = 115035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81276 / 115035 ti = "17/81276/115035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81276/115035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81276 ÷ 217
    81276 ÷ 131072     		x = 0.620086669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115035 ÷ 217
    115035 ÷ 131072     		y = 0.877647399902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620086669921875 × 2 - 1) × π
    0.24017333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.75452680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877647399902344 × 2 - 1) × π
    -0.755294799804688 × 3.1415926535     		Φ = -2.37282859429316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75452680} λ = 0.75452680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37282859429316))-π/2
    2×atan(0.093216680843943)-π/2
    2×0.0929480823845567-π/2
    0.185896164769113-1.57079632675     		φ = -1.38490016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75452680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.231201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38490016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.348934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81276 KachelY 115035 0.75452680 -1.38490016 43.231201 -79.348934
    Oben rechts KachelX + 1 81277 KachelY 115035 0.75457474 -1.38490016 43.233948 -79.348934
    Unten links KachelX 81276 KachelY + 1 115036 0.75452680 -1.38490902 43.231201 -79.349442
    Unten rechts KachelX + 1 81277 KachelY + 1 115036 0.75457474 -1.38490902 43.233948 -79.349442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38490016--1.38490902) × R
    8.86000000011045e-06 × 6371000     		dl = 56.4470600007037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38490016--1.38490902) × R
    8.86000000011045e-06 × 6371000     		dr = 56.4470600007037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75452680-0.75457474) × cos(-1.38490016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184827334374351 × 6371000     		do = 56.4510253734765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75452680-0.75457474) × cos(-1.38490902) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184818627015955 × 6371000     		du = 56.448365922095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38490016)-sin(-1.38490902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184827334374351-0.184818627015955)×R²
    abs(0.75457474-0.75452680)×8.70735839569869e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.70735839569869e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.70735839569869e-06×40589641000000     		ar = 3186.41935724885m²