Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81275 / 115037
↖ ↑ ↗
← S 79.349949°
E 43.228454°		 ← 56.45 m → S 79.349949°
E 43.231201°		 →
↑
56.45 m
↓
↑
56.45 m
↓
S 79.350457°
E 43.228454°		 ← 56.44 m →
3 186 m²		 S 79.350457°
E 43.231201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620082855224609 y=0.877666473388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620082855224609 × 217)
    floor (0.620082855224609 × 131072)
    floor (81275.5)     		tx = 81275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877666473388672 × 217)
    floor (0.877666473388672 × 131072)
    floor (115037.5)     		ty = 115037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81275 / 115037 ti = "17/81275/115037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81275/115037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81275 ÷ 217
    81275 ÷ 131072     		x = 0.620079040527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115037 ÷ 217
    115037 ÷ 131072     		y = 0.877662658691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620079040527344 × 2 - 1) × π
    0.240158081054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.75447886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877662658691406 × 2 - 1) × π
    -0.755325317382812 × 3.1415926535     		Φ = -2.3729244680924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75447886} λ = 0.75447886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3729244680924))-π/2
    2×atan(0.0932077442349982)-π/2
    2×0.0929392227526703-π/2
    0.185878445505341-1.57079632675     		φ = -1.38491788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75447886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.228454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38491788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.349949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81275 KachelY 115037 0.75447886 -1.38491788 43.228454 -79.349949
    Oben rechts KachelX + 1 81276 KachelY 115037 0.75452680 -1.38491788 43.231201 -79.349949
    Unten links KachelX 81275 KachelY + 1 115038 0.75447886 -1.38492674 43.228454 -79.350457
    Unten rechts KachelX + 1 81276 KachelY + 1 115038 0.75452680 -1.38492674 43.231201 -79.350457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38491788--1.38492674) × R
    8.86000000011045e-06 × 6371000     		dl = 56.4470600007037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38491788--1.38492674) × R
    8.86000000011045e-06 × 6371000     		dr = 56.4470600007037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75447886-0.75452680) × cos(-1.38491788) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.184809919643051 × 6371000     		do = 56.4457064664132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75447886-0.75452680) × cos(-1.38492674) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.18480121225564 × 6371000     		du = 56.4430470061696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38491788)-sin(-1.38492674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184809919643051-0.18480121225564)×R²
    abs(0.75452680-0.75447886)×8.70738741137744e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.70738741137744e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.70738741137744e-06×40589641000000     		ar = 3186.11912047024m²