Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8127 / 8655
↖ ↑ ↗
← S 10.120301°
W  1.428223°		 ← 2 405.26 m → S 10.120301°
W  1.406250°		 →
↑
2 405.18 m
↓
↑
2 405.18 m
↓
S 10.141932°
W  1.428223°		 ← 2 405.10 m →
5 784 896 m²		 S 10.141932°
W  1.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496063232421875 y=0.528289794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496063232421875 × 214)
    floor (0.496063232421875 × 16384)
    floor (8127.5)     		tx = 8127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528289794921875 × 214)
    floor (0.528289794921875 × 16384)
    floor (8655.5)     		ty = 8655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8127 / 8655 ti = "14/8127/8655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8127/8655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8127 ÷ 214
    8127 ÷ 16384     		x = 0.49603271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8655 ÷ 214
    8655 ÷ 16384     		y = 0.52825927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.0079345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02492719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52825927734375 × 2 - 1) × π
    -0.0565185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.177558276192688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02492719} λ = -0.02492719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177558276192688))-π/2
    2×atan(0.837312202546666)-π/2
    2×0.697081871011751-π/2
    1.3941637420235-1.57079632675     		φ = -0.17663258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02492719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.428223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17663258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.120301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8127 KachelY 8655 -0.02492719 -0.17663258 -1.428223 -10.120301
    Oben rechts KachelX + 1 8128 KachelY 8655 -0.02454369 -0.17663258 -1.406250 -10.120301
    Unten links KachelX 8127 KachelY + 1 8656 -0.02492719 -0.17701010 -1.428223 -10.141932
    Unten rechts KachelX + 1 8128 KachelY + 1 8656 -0.02454369 -0.17701010 -1.406250 -10.141932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17663258--0.17701010) × R
    0.000377519999999992 × 6371000     		dl = 2405.17991999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17663258--0.17701010) × R
    0.000377519999999992 × 6371000     		dr = 2405.17991999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02492719--0.02454369) × cos(-0.17663258) × R
    0.000383499999999998 × 0.984440981263803 × 6371000     		do = 2405.26348404074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02492719--0.02454369) × cos(-0.17701010) × R
    0.000383499999999998 × 0.984374574979126 × 6371000     		du = 2405.10123499313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17663258)-sin(-0.17701010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984440981263803-0.984374574979126)×R²
    abs(-0.02454369--0.02492719)×6.64062846773561e-05×R²
    0.000383499999999998×6.64062846773561e-05×6371000²
    0.000383499999999998×6.64062846773561e-05×40589641000000     		ar = 5784896.38375402m²