Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8126 / 8650
↖ ↑ ↗
← S 10.012130°
W  1.450195°		 ← 2 406.01 m → S 10.012130°
W  1.428223°		 →
↑
2 405.94 m
↓
↑
2 405.94 m
↓
S 10.033767°
W  1.450195°		 ← 2 405.85 m →
5 788 526 m²		 S 10.033767°
W  1.428223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496002197265625 y=0.527984619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496002197265625 × 214)
    floor (0.496002197265625 × 16384)
    floor (8126.5)     		tx = 8126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527984619140625 × 214)
    floor (0.527984619140625 × 16384)
    floor (8650.5)     		ty = 8650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8126 / 8650 ti = "14/8126/8650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8126/8650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8126 ÷ 214
    8126 ÷ 16384     		x = 0.4959716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8650 ÷ 214
    8650 ÷ 16384     		y = 0.5279541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4959716796875 × 2 - 1) × π
    -0.008056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02531068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5279541015625 × 2 - 1) × π
    -0.055908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.175640800207886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02531068} λ = -0.02531068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.175640800207886))-π/2
    2×atan(0.838919268849959)-π/2
    2×0.69802585043905-π/2
    1.3960517008781-1.57079632675     		φ = -0.17474463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02531068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.450195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17474463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.012130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8126 KachelY 8650 -0.02531068 -0.17474463 -1.450195 -10.012130
    Oben rechts KachelX + 1 8127 KachelY 8650 -0.02492719 -0.17474463 -1.428223 -10.012130
    Unten links KachelX 8126 KachelY + 1 8651 -0.02531068 -0.17512227 -1.450195 -10.033767
    Unten rechts KachelX + 1 8127 KachelY + 1 8651 -0.02492719 -0.17512227 -1.428223 -10.033767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17474463--0.17512227) × R
    0.000377639999999985 × 6371000     		dl = 2405.9444399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17474463--0.17512227) × R
    0.000377639999999985 × 6371000     		dr = 2405.9444399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02531068--0.02492719) × cos(-0.17474463) × R
    0.00038349 × 0.98477096879065 × 6371000     		do = 2406.00699571195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02531068--0.02492719) × cos(-0.17512227) × R
    0.00038349 × 0.984705243342195 × 6371000     		du = 2405.8464143242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17474463)-sin(-0.17512227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98477096879065-0.984705243342195)×R²
    abs(-0.02492719--0.02531068)×6.57254484545122e-05×R²
    0.00038349×6.57254484545122e-05×6371000²
    0.00038349×6.57254484545122e-05×40589641000000     		ar = 5788526.04777825m²