Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8126 / 7739
↖ ↑ ↗
← N 79.629002°
W135.362549°		 ← 109.95 m → N 79.629002°
W135.357056°		 →
↑
109.96 m
↓
↑
109.96 m
↓
N 79.628013°
W135.362549°		 ← 109.97 m →
12 092 m²		 N 79.628013°
W135.357056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124000549316406 y=0.118095397949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124000549316406 × 216)
    floor (0.124000549316406 × 65536)
    floor (8126.5)     		tx = 8126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118095397949219 × 216)
    floor (0.118095397949219 × 65536)
    floor (7739.5)     		ty = 7739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8126 / 7739 ti = "16/8126/7739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8126/7739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8126 ÷ 216
    8126 ÷ 65536     		x = 0.123992919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7739 ÷ 216
    7739 ÷ 65536     		y = 0.118087768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.123992919921875 × 2 - 1) × π
    -0.75201416015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.36252216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118087768554688 × 2 - 1) × π
    0.763824462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.39962532118077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36252216} λ = -2.36252216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39962532118077))-π/2
    2×atan(11.0190470035745)-π/2
    2×1.48029229491444-π/2
    2.96058458982888-1.57079632675     		φ = 1.38978826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36252216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.362549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38978826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.629002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8126 KachelY 7739 -2.36252216 1.38978826 -135.362549 79.629002
    Oben rechts KachelX + 1 8127 KachelY 7739 -2.36242629 1.38978826 -135.357056 79.629002
    Unten links KachelX 8126 KachelY + 1 7740 -2.36252216 1.38977100 -135.362549 79.628013
    Unten rechts KachelX + 1 8127 KachelY + 1 7740 -2.36242629 1.38977100 -135.357056 79.628013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38978826-1.38977100) × R
    1.72599999999079e-05 × 6371000     		dl = 109.963459999413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38978826-1.38977100) × R
    1.72599999999079e-05 × 6371000     		dr = 109.963459999413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36252216--2.36242629) × cos(1.38978826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180021262451119 × 6371000     		do = 109.954785445101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36252216--2.36242629) × cos(1.38977100) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180038240442836 × 6371000     		du = 109.965155394801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38978826)-sin(1.38977100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180021262451119-0.180038240442836)×R²
    abs(-2.36242629--2.36252216)×1.69779917169322e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.69779917169322e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.69779917169322e-05×40589641000000     		ar = 12091.5788091814m²