Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8126 / 7738
↖ ↑ ↗
← N 79.629991°
W135.362549°		 ← 109.94 m → N 79.629991°
W135.357056°		 →
↑
109.96 m
↓
↑
109.96 m
↓
N 79.629002°
W135.362549°		 ← 109.95 m →
12 090 m²		 N 79.629002°
W135.357056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124000549316406 y=0.118080139160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124000549316406 × 216)
    floor (0.124000549316406 × 65536)
    floor (8126.5)     		tx = 8126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118080139160156 × 216)
    floor (0.118080139160156 × 65536)
    floor (7738.5)     		ty = 7738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8126 / 7738 ti = "16/8126/7738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8126/7738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8126 ÷ 216
    8126 ÷ 65536     		x = 0.123992919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7738 ÷ 216
    7738 ÷ 65536     		y = 0.118072509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.123992919921875 × 2 - 1) × π
    -0.75201416015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.36252216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118072509765625 × 2 - 1) × π
    0.76385498046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39972119498001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36252216} λ = -2.36252216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39972119498001))-π/2
    2×atan(11.0201034921187)-π/2
    2×1.48030092416857-π/2
    2.96060184833715-1.57079632675     		φ = 1.38980552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36252216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.362549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38980552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.629991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8126 KachelY 7738 -2.36252216 1.38980552 -135.362549 79.629991
    Oben rechts KachelX + 1 8127 KachelY 7738 -2.36242629 1.38980552 -135.357056 79.629991
    Unten links KachelX 8126 KachelY + 1 7739 -2.36252216 1.38978826 -135.362549 79.629002
    Unten rechts KachelX + 1 8127 KachelY + 1 7739 -2.36242629 1.38978826 -135.357056 79.629002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38980552-1.38978826) × R
    1.72599999999079e-05 × 6371000     		dl = 109.963459999413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38980552-1.38978826) × R
    1.72599999999079e-05 × 6371000     		dr = 109.963459999413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36252216--2.36242629) × cos(1.38980552) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180004284405773 × 6371000     		do = 109.944415462645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36252216--2.36242629) × cos(1.38978826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180021262451119 × 6371000     		du = 109.954785445101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38980552)-sin(1.38978826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180004284405773-0.180021262451119)×R²
    abs(-2.36242629--2.36252216)×1.69780453466162e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.69780453466162e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.69780453466162e-05×40589641000000     		ar = 12090.4384918628m²