Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8125 / 8656
↖ ↑ ↗
← S 10.141932°
W  1.472168°		 ← 2 405.10 m → S 10.141932°
W  1.450195°		 →
↑
2 404.99 m
↓
↑
2 404.99 m
↓
S 10.163560°
W  1.472168°		 ← 2 404.94 m →
5 784 046 m²		 S 10.163560°
W  1.450195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495941162109375 y=0.528350830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495941162109375 × 214)
    floor (0.495941162109375 × 16384)
    floor (8125.5)     		tx = 8125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528350830078125 × 214)
    floor (0.528350830078125 × 16384)
    floor (8656.5)     		ty = 8656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8125 / 8656 ti = "14/8125/8656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8125/8656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8125 ÷ 214
    8125 ÷ 16384     		x = 0.49591064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8656 ÷ 214
    8656 ÷ 16384     		y = 0.5283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49591064453125 × 2 - 1) × π
    -0.0081787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02569418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5283203125 × 2 - 1) × π
    -0.056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.177941771389648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02569418} λ = -0.02569418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177941771389648))-π/2
    2×atan(0.836991158901916)-π/2
    2×0.696893113182288-π/2
    1.39378622636458-1.57079632675     		φ = -0.17701010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02569418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.472168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17701010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.141932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8125 KachelY 8656 -0.02569418 -0.17701010 -1.472168 -10.141932
    Oben rechts KachelX + 1 8126 KachelY 8656 -0.02531068 -0.17701010 -1.450195 -10.141932
    Unten links KachelX 8125 KachelY + 1 8657 -0.02569418 -0.17738759 -1.472168 -10.163560
    Unten rechts KachelX + 1 8126 KachelY + 1 8657 -0.02531068 -0.17738759 -1.450195 -10.163560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17701010--0.17738759) × R
    0.000377490000000008 × 6371000     		dl = 2404.98879000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17701010--0.17738759) × R
    0.000377490000000008 × 6371000     		dr = 2404.98879000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02569418--0.02531068) × cos(-0.17701010) × R
    0.000383500000000002 × 0.984374574979126 × 6371000     		do = 2405.10123499315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02569418--0.02531068) × cos(-0.17738759) × R
    0.000383500000000002 × 0.984308033693819 × 6371000     		du = 2404.9386561014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17701010)-sin(-0.17738759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984374574979126-0.984308033693819)×R²
    abs(-0.02531068--0.02569418)×6.65412853061431e-05×R²
    0.000383500000000002×6.65412853061431e-05×6371000²
    0.000383500000000002×6.65412853061431e-05×40589641000000     		ar = 5784046.07745303m²