Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81246 / 115008
↖ ↑ ↗
← S 79.335219°
E 43.148804°		 ← 56.52 m → S 79.335219°
E 43.151550°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
S 79.335728°
E 43.148804°		 ← 56.52 m →
3 194 m²		 S 79.335728°
E 43.151550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619861602783203 y=0.877445220947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619861602783203 × 217)
    floor (0.619861602783203 × 131072)
    floor (81246.5)     		tx = 81246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877445220947266 × 217)
    floor (0.877445220947266 × 131072)
    floor (115008.5)     		ty = 115008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81246 / 115008 ti = "17/81246/115008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81246/115008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81246 ÷ 217
    81246 ÷ 131072     		x = 0.619857788085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115008 ÷ 217
    115008 ÷ 131072     		y = 0.87744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619857788085938 × 2 - 1) × π
    0.239715576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.75308869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87744140625 × 2 - 1) × π
    -0.7548828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37153429800342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75308869} λ = 0.75308869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37153429800342))-π/2
    2×atan(0.0933374089602242)-π/2
    2×0.0930677691531483-π/2
    0.186135538306297-1.57079632675     		φ = -1.38466079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75308869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.148804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38466079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.335219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81246 KachelY 115008 0.75308869 -1.38466079 43.148804 -79.335219
    Oben rechts KachelX + 1 81247 KachelY 115008 0.75313663 -1.38466079 43.151550 -79.335219
    Unten links KachelX 81246 KachelY + 1 115009 0.75308869 -1.38466966 43.148804 -79.335728
    Unten rechts KachelX + 1 81247 KachelY + 1 115009 0.75313663 -1.38466966 43.151550 -79.335728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38466079--1.38466966) × R
    8.86999999982763e-06 × 6371000     		dl = 56.5107699989018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38466079--1.38466966) × R
    8.86999999982763e-06 × 6371000     		dr = 56.5107699989018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75308869-0.75313663) × cos(-1.38466079) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185062574973451 × 6371000     		do = 56.5228739075348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75308869-0.75313663) × cos(-1.38466966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185053858179998 × 6371000     		du = 56.5202115744438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38466079)-sin(-1.38466966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185062574973451-0.185053858179998)×R²
    abs(0.75313663-0.75308869)×8.71679345382237e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.71679345382237e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.71679345382237e-06×40589641000000     		ar = 3194.07590189293m²