Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81244 / 115010
↖ ↑ ↗
← S 79.336236°
E 43.143311°		 ← 56.52 m → S 79.336236°
E 43.146057°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
S 79.336744°
E 43.143311°		 ← 56.51 m →
3 194 m²		 S 79.336744°
E 43.146057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619846343994141 y=0.877460479736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619846343994141 × 217)
    floor (0.619846343994141 × 131072)
    floor (81244.5)     		tx = 81244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877460479736328 × 217)
    floor (0.877460479736328 × 131072)
    floor (115010.5)     		ty = 115010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81244 / 115010 ti = "17/81244/115010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81244/115010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81244 ÷ 217
    81244 ÷ 131072     		x = 0.619842529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115010 ÷ 217
    115010 ÷ 131072     		y = 0.877456665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619842529296875 × 2 - 1) × π
    0.23968505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.75299282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877456665039062 × 2 - 1) × π
    -0.754913330078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37163017180266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75299282} λ = 0.75299282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37163017180266))-π/2
    2×atan(0.093328460777171)-π/2
    2×0.0930588982449027-π/2
    0.186117796489805-1.57079632675     		φ = -1.38467853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75299282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.143311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38467853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.336236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81244 KachelY 115010 0.75299282 -1.38467853 43.143311 -79.336236
    Oben rechts KachelX + 1 81245 KachelY 115010 0.75304076 -1.38467853 43.146057 -79.336236
    Unten links KachelX 81244 KachelY + 1 115011 0.75299282 -1.38468740 43.143311 -79.336744
    Unten rechts KachelX + 1 81245 KachelY + 1 115011 0.75304076 -1.38468740 43.146057 -79.336744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38467853--1.38468740) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dl = 56.5107700003165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38467853--1.38468740) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dr = 56.5107700003165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75299282-0.75304076) × cos(-1.38467853) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185045141371984 × 6371000     		do = 56.5175492369058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75299282-0.75304076) × cos(-1.38468740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185036424549412 × 6371000     		du = 56.5148868949212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38467853)-sin(-1.38468740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185045141371984-0.185036424549412)×R²
    abs(0.75304076-0.75299282)×8.71682257228001e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.71682257228001e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.71682257228001e-06×40589641000000     		ar = 3193.77500058427m²