Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8124 / 8669
↖ ↑ ↗
← S 10.422989°
W  1.494140°		 ← 2 402.90 m → S 10.422989°
W  1.472168°		 →
↑
2 402.82 m
↓
↑
2 402.82 m
↓
S 10.444598°
W  1.494140°		 ← 2 402.73 m →
5 773 540 m²		 S 10.444598°
W  1.472168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495880126953125 y=0.529144287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495880126953125 × 214)
    floor (0.495880126953125 × 16384)
    floor (8124.5)     		tx = 8124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529144287109375 × 214)
    floor (0.529144287109375 × 16384)
    floor (8669.5)     		ty = 8669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8124 / 8669 ti = "14/8124/8669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8124/8669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8124 ÷ 214
    8124 ÷ 16384     		x = 0.495849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8669 ÷ 214
    8669 ÷ 16384     		y = 0.52911376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495849609375 × 2 - 1) × π
    -0.00830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02607767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52911376953125 × 2 - 1) × π
    -0.0582275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.182927208950134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02607767} λ = -0.02607767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.182927208950134))-π/2
    2×atan(0.832828776011722)-π/2
    2×0.6944404307632-π/2
    1.3888808615264-1.57079632675     		φ = -0.18191547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02607767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.494140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18191547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.422989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8124 KachelY 8669 -0.02607767 -0.18191547 -1.494140 -10.422989
    Oben rechts KachelX + 1 8125 KachelY 8669 -0.02569418 -0.18191547 -1.472168 -10.422989
    Unten links KachelX 8124 KachelY + 1 8670 -0.02607767 -0.18229262 -1.494140 -10.444598
    Unten rechts KachelX + 1 8125 KachelY + 1 8670 -0.02569418 -0.18229262 -1.472168 -10.444598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18191547--0.18229262) × R
    0.000377149999999993 × 6371000     		dl = 2402.82264999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18191547--0.18229262) × R
    0.000377149999999993 × 6371000     		dr = 2402.82264999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02607767--0.02569418) × cos(-0.18191547) × R
    0.00038349 × 0.983498962347653 × 6371000     		do = 2402.89921075744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02607767--0.02569418) × cos(-0.18229262) × R
    0.00038349 × 0.983430660774588 × 6371000     		du = 2402.73233534395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18191547)-sin(-0.18229262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983498962347653-0.983430660774588)×R²
    abs(-0.02569418--0.02607767)×6.83015730652548e-05×R²
    0.00038349×6.83015730652548e-05×6371000²
    0.00038349×6.83015730652548e-05×40589641000000     		ar = 5773540.23169976m²