Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81238 / 114986
↖ ↑ ↗
← S 79.324031°
E 43.126831°		 ← 56.57 m → S 79.324031°
E 43.129577°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
S 79.324540°
E 43.126831°		 ← 56.57 m →
3 200 m²		 S 79.324540°
E 43.129577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619800567626953 y=0.877277374267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619800567626953 × 217)
    floor (0.619800567626953 × 131072)
    floor (81238.5)     		tx = 81238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877277374267578 × 217)
    floor (0.877277374267578 × 131072)
    floor (114986.5)     		ty = 114986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81238 / 114986 ti = "17/81238/114986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81238/114986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81238 ÷ 217
    81238 ÷ 131072     		x = 0.619796752929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114986 ÷ 217
    114986 ÷ 131072     		y = 0.877273559570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619796752929688 × 2 - 1) × π
    0.239593505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.75270520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877273559570312 × 2 - 1) × π
    -0.754547119140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.37047968621178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75270520} λ = 0.75270520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37047968621178))-π/2
    2×atan(0.0934358956157809)-π/2
    2×0.0931654043257639-π/2
    0.186330808651528-1.57079632675     		φ = -1.38446552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75270520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.126831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38446552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.324031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81238 KachelY 114986 0.75270520 -1.38446552 43.126831 -79.324031
    Oben rechts KachelX + 1 81239 KachelY 114986 0.75275313 -1.38446552 43.129577 -79.324031
    Unten links KachelX 81238 KachelY + 1 114987 0.75270520 -1.38447440 43.126831 -79.324540
    Unten rechts KachelX + 1 81239 KachelY + 1 114987 0.75275313 -1.38447440 43.129577 -79.324540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38446552--1.38447440) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dl = 56.5744799999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38446552--1.38447440) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dr = 56.5744799999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75270520-0.75275313) × cos(-1.38446552) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185254468494284 × 6371000     		do = 56.5696805660203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75270520-0.75275313) × cos(-1.38447440) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185245742194603 × 6371000     		du = 56.5670158854353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38446552)-sin(-1.38447440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185254468494284-0.185245742194603)×R²
    abs(0.75275313-0.75270520)×8.72629968090566e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.72629968090566e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.72629968090566e-06×40589641000000     		ar = 3200.32488513582m²