Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8123 / 8673
↖ ↑ ↗
← S 10.509416°
W  1.516113°		 ← 2 402.29 m → S 10.509416°
W  1.494140°		 →
↑
2 402.19 m
↓
↑
2 402.19 m
↓
S 10.531020°
W  1.516113°		 ← 2 402.12 m →
5 770 550 m²		 S 10.531020°
W  1.494140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495819091796875 y=0.529388427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495819091796875 × 214)
    floor (0.495819091796875 × 16384)
    floor (8123.5)     		tx = 8123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529388427734375 × 214)
    floor (0.529388427734375 × 16384)
    floor (8673.5)     		ty = 8673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8123 / 8673 ti = "14/8123/8673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8123/8673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8123 ÷ 214
    8123 ÷ 16384     		x = 0.49578857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8673 ÷ 214
    8673 ÷ 16384     		y = 0.52935791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49578857421875 × 2 - 1) × π
    -0.0084228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02646117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52935791015625 × 2 - 1) × π
    -0.0587158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.184461189737976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02646117} λ = -0.02646117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.184461189737976))-π/2
    2×atan(0.831552212032391)-π/2
    2×0.69368620145312-π/2
    1.38737240290624-1.57079632675     		φ = -0.18342392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02646117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.516113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18342392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.509416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8123 KachelY 8673 -0.02646117 -0.18342392 -1.516113 -10.509416
    Oben rechts KachelX + 1 8124 KachelY 8673 -0.02607767 -0.18342392 -1.494140 -10.509416
    Unten links KachelX 8123 KachelY + 1 8674 -0.02646117 -0.18380097 -1.516113 -10.531020
    Unten rechts KachelX + 1 8124 KachelY + 1 8674 -0.02607767 -0.18380097 -1.494140 -10.531020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18342392--0.18380097) × R
    0.000377050000000018 × 6371000     		dl = 2402.18555000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18342392--0.18380097) × R
    0.000377050000000018 × 6371000     		dr = 2402.18555000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02646117--0.02607767) × cos(-0.18342392) × R
    0.000383499999999998 × 0.983224944142355 × 6371000     		do = 2402.29236668671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02646117--0.02607767) × cos(-0.18380097) × R
    0.000383499999999998 × 0.983156101419139 × 6371000     		du = 2402.12416474119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18342392)-sin(-0.18380097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983224944142355-0.983156101419139)×R²
    abs(-0.02607767--0.02646117)×6.8842723216056e-05×R²
    0.000383499999999998×6.8842723216056e-05×6371000²
    0.000383499999999998×6.8842723216056e-05×40589641000000     		ar = 5770550.05235397m²