Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81223 / 114921
↖ ↑ ↗
← S 79.290907°
E 43.085632°		 ← 56.75 m → S 79.290907°
E 43.088379°		 →
↑
56.77 m
↓
↑
56.77 m
↓
S 79.291418°
E 43.085632°		 ← 56.75 m →
3 222 m²		 S 79.291418°
E 43.088379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619686126708984 y=0.876781463623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619686126708984 × 217)
    floor (0.619686126708984 × 131072)
    floor (81223.5)     		tx = 81223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876781463623047 × 217)
    floor (0.876781463623047 × 131072)
    floor (114921.5)     		ty = 114921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81223 / 114921 ti = "17/81223/114921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81223/114921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81223 ÷ 217
    81223 ÷ 131072     		x = 0.619682312011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114921 ÷ 217
    114921 ÷ 131072     		y = 0.876777648925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619682312011719 × 2 - 1) × π
    0.239364624023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.75198614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876777648925781 × 2 - 1) × π
    -0.753555297851562 × 3.1415926535     		Φ = -2.36736378773647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75198614} λ = 0.75198614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36736378773647))-π/2
    2×atan(0.0937274864282358)-π/2
    2×0.0934544636893566-π/2
    0.186908927378713-1.57079632675     		φ = -1.38388740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75198614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.085632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38388740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.290907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81223 KachelY 114921 0.75198614 -1.38388740 43.085632 -79.290907
    Oben rechts KachelX + 1 81224 KachelY 114921 0.75203408 -1.38388740 43.088379 -79.290907
    Unten links KachelX 81223 KachelY + 1 114922 0.75198614 -1.38389631 43.085632 -79.291418
    Unten rechts KachelX + 1 81224 KachelY + 1 114922 0.75203408 -1.38389631 43.088379 -79.291418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38388740--1.38389631) × R
    8.90999999980657e-06 × 6371000     		dl = 56.7656099987677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38388740--1.38389631) × R
    8.90999999980657e-06 × 6371000     		dr = 56.7656099987677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75198614-0.75203408) × cos(-1.38388740) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.185822550584351 × 6371000     		do = 56.7549900210071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75198614-0.75203408) × cos(-1.38389631) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.185813795759599 × 6371000     		du = 56.7523160721786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38388740)-sin(-1.38389631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185822550584351-0.185813795759599)×R²
    abs(0.75203408-0.75198614)×8.75482475221068e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.75482475221068e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.75482475221068e-06×40589641000000     		ar = 3221.6557348695m²