Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8122 / 8670
↖ ↑ ↗
← S 10.444598°
W  1.538086°		 ← 2 402.73 m → S 10.444598°
W  1.516113°		 →
↑
2 402.70 m
↓
↑
2 402.70 m
↓
S 10.466206°
W  1.538086°		 ← 2 402.57 m →
5 772 833 m²		 S 10.466206°
W  1.516113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495758056640625 y=0.529205322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495758056640625 × 214)
    floor (0.495758056640625 × 16384)
    floor (8122.5)     		tx = 8122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529205322265625 × 214)
    floor (0.529205322265625 × 16384)
    floor (8670.5)     		ty = 8670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8122 / 8670 ti = "14/8122/8670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8122/8670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8122 ÷ 214
    8122 ÷ 16384     		x = 0.4957275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8670 ÷ 214
    8670 ÷ 16384     		y = 0.5291748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4957275390625 × 2 - 1) × π
    -0.008544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02684466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5291748046875 × 2 - 1) × π
    -0.058349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.183310704147095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02684466} λ = -0.02684466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.183310704147095))-π/2
    2×atan(0.83250945140987)-π/2
    2×0.694251853745139-π/2
    1.38850370749028-1.57079632675     		φ = -0.18229262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02684466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.538086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18229262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.444598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8122 KachelY 8670 -0.02684466 -0.18229262 -1.538086 -10.444598
    Oben rechts KachelX + 1 8123 KachelY 8670 -0.02646117 -0.18229262 -1.516113 -10.444598
    Unten links KachelX 8122 KachelY + 1 8671 -0.02684466 -0.18266975 -1.538086 -10.466206
    Unten rechts KachelX + 1 8123 KachelY + 1 8671 -0.02646117 -0.18266975 -1.516113 -10.466206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18229262--0.18266975) × R
    0.000377130000000003 × 6371000     		dl = 2402.69523000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18229262--0.18266975) × R
    0.000377130000000003 × 6371000     		dr = 2402.69523000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02684466--0.02646117) × cos(-0.18229262) × R
    0.00038349 × 0.983430660774588 × 6371000     		do = 2402.73233534395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02684466--0.02646117) × cos(-0.18266975) × R
    0.00038349 × 0.983362222949371 × 6371000     		du = 2402.56512703718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18229262)-sin(-0.18266975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983430660774588-0.983362222949371)×R²
    abs(-0.02646117--0.02684466)×6.84378252170381e-05×R²
    0.00038349×6.84378252170381e-05×6371000²
    0.00038349×6.84378252170381e-05×40589641000000     		ar = 5772832.71421843m²