Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8122 / 8120
↖ ↑ ↗
← N 79.245389°
W135.384522°		 ← 113.99 m → N 79.245389°
W135.379028°		 →
↑
114.04 m
↓
↑
114.04 m
↓
N 79.244363°
W135.384522°		 ← 114 m →
13 000 m²		 N 79.244363°
W135.379028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.123939514160156 y=0.123908996582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.123939514160156 × 216)
    floor (0.123939514160156 × 65536)
    floor (8122.5)     		tx = 8122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123908996582031 × 216)
    floor (0.123908996582031 × 65536)
    floor (8120.5)     		ty = 8120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8122 / 8120 ti = "16/8122/8120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8122/8120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8122 ÷ 216
    8122 ÷ 65536     		x = 0.123931884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8120 ÷ 216
    8120 ÷ 65536     		y = 0.1239013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.123931884765625 × 2 - 1) × π
    -0.75213623046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.36290566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1239013671875 × 2 - 1) × π
    0.752197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36309740367029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36290566} λ = -2.36290566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36309740367029))-π/2
    2×atan(10.6238067611437)-π/2
    2×1.47694463593962-π/2
    2.95388927187925-1.57079632675     		φ = 1.38309295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36290566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.384522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38309295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.245389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8122 KachelY 8120 -2.36290566 1.38309295 -135.384522 79.245389
    Oben rechts KachelX + 1 8123 KachelY 8120 -2.36280978 1.38309295 -135.379028 79.245389
    Unten links KachelX 8122 KachelY + 1 8121 -2.36290566 1.38307505 -135.384522 79.244363
    Unten rechts KachelX + 1 8123 KachelY + 1 8121 -2.36280978 1.38307505 -135.379028 79.244363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38309295-1.38307505) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dl = 114.040900000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38309295-1.38307505) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dr = 114.040900000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36290566--2.36280978) × cos(1.38309295) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.186603105179365 × 6371000     		do = 113.986782971336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36290566--2.36280978) × cos(1.38307505) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.186620690742819 × 6371000     		du = 113.997525138798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38309295)-sin(1.38307505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186603105179365-0.186620690742819)×R²
    abs(-2.36280978--2.36290566)×1.75855634542699e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.75855634542699e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.75855634542699e-05×40589641000000     		ar = 12999.7678415889m²