Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8122 / 3959
↖ ↑ ↗
← N 67.684429°
W  1.538086°		 ← 927.71 m → N 67.684429°
W  1.516113°		 →
↑
927.87 m
↓
↑
927.87 m
↓
N 67.676085°
W  1.538086°		 ← 928.04 m →
860 947 m²		 N 67.676085°
W  1.516113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495758056640625 y=0.241668701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495758056640625 × 214)
    floor (0.495758056640625 × 16384)
    floor (8122.5)     		tx = 8122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241668701171875 × 214)
    floor (0.241668701171875 × 16384)
    floor (3959.5)     		ty = 3959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8122 / 3959 ti = "14/8122/3959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8122/3959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8122 ÷ 214
    8122 ÷ 16384     		x = 0.4957275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3959 ÷ 214
    3959 ÷ 16384     		y = 0.24163818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4957275390625 × 2 - 1) × π
    -0.008544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02684466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24163818359375 × 2 - 1) × π
    0.5167236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.62333516873358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02684466} λ = -0.02684466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62333516873358))-π/2
    2×atan(5.06997136031247)-π/2
    2×1.37605623472882-π/2
    2.75211246945765-1.57079632675     		φ = 1.18131614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02684466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.538086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18131614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.684429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8122 KachelY 3959 -0.02684466 1.18131614 -1.538086 67.684429
    Oben rechts KachelX + 1 8123 KachelY 3959 -0.02646117 1.18131614 -1.516113 67.684429
    Unten links KachelX 8122 KachelY + 1 3960 -0.02684466 1.18117050 -1.538086 67.676085
    Unten rechts KachelX + 1 8123 KachelY + 1 3960 -0.02646117 1.18117050 -1.516113 67.676085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18131614-1.18117050) × R
    0.000145640000000169 × 6371000     		dl = 927.872440001076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18131614-1.18117050) × R
    0.000145640000000169 × 6371000     		dr = 927.872440001076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02684466--0.02646117) × cos(1.18131614) × R
    0.00038349 × 0.379707583837429 × 6371000     		do = 927.707184706772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02684466--0.02646117) × cos(1.18117050) × R
    0.00038349 × 0.37984231232963 × 6371000     		du = 928.036355351552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18131614)-sin(1.18117050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379707583837429-0.37984231232963)×R²
    abs(-0.02646117--0.02684466)×0.000134728492200975×R²
    0.00038349×0.000134728492200975×6371000²
    0.00038349×0.000134728492200975×40589641000000     		ar = 860946.644788064m²