Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8122 / 3958
↖ ↑ ↗
← N 67.692771°
W  1.538086°		 ← 927.38 m → N 67.692771°
W  1.516113°		 →
↑
927.55 m
↓
↑
927.55 m
↓
N 67.684429°
W  1.538086°		 ← 927.71 m →
860 346 m²		 N 67.684429°
W  1.516113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495758056640625 y=0.241607666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495758056640625 × 214)
    floor (0.495758056640625 × 16384)
    floor (8122.5)     		tx = 8122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241607666015625 × 214)
    floor (0.241607666015625 × 16384)
    floor (3958.5)     		ty = 3958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8122 / 3958 ti = "14/8122/3958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8122/3958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8122 ÷ 214
    8122 ÷ 16384     		x = 0.4957275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3958 ÷ 214
    3958 ÷ 16384     		y = 0.2415771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4957275390625 × 2 - 1) × π
    -0.008544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02684466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2415771484375 × 2 - 1) × π
    0.516845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.62371866393054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02684466} λ = -0.02684466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62371866393054))-π/2
    2×atan(5.07191604284225)-π/2
    2×1.37612902983175-π/2
    2.75225805966351-1.57079632675     		φ = 1.18146173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02684466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.538086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18146173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.692771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8122 KachelY 3958 -0.02684466 1.18146173 -1.538086 67.692771
    Oben rechts KachelX + 1 8123 KachelY 3958 -0.02646117 1.18146173 -1.516113 67.692771
    Unten links KachelX 8122 KachelY + 1 3959 -0.02684466 1.18131614 -1.538086 67.684429
    Unten rechts KachelX + 1 8123 KachelY + 1 3959 -0.02646117 1.18131614 -1.516113 67.684429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18146173-1.18131614) × R
    0.000145590000000029 × 6371000     		dl = 927.553890000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18146173-1.18131614) × R
    0.000145590000000029 × 6371000     		dr = 927.553890000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02684466--0.02646117) × cos(1.18146173) × R
    0.00038349 × 0.379572893549339 × 6371000     		do = 927.378107402842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02684466--0.02646117) × cos(1.18131614) × R
    0.00038349 × 0.379707583837429 × 6371000     		du = 927.707184706772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18146173)-sin(1.18131614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379572893549339-0.379707583837429)×R²
    abs(-0.02646117--0.02684466)×0.000134690288089878×R²
    0.00038349×0.000134690288089878×6371000²
    0.00038349×0.000134690288089878×40589641000000     		ar = 860345.791009044m²