Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81213 / 115062
↖ ↑ ↗
← S 79.362632°
E 43.058167°		 ← 56.37 m → S 79.362632°
E 43.060913°		 →
↑
56.38 m
↓
↑
56.38 m
↓
S 79.363139°
E 43.058167°		 ← 56.36 m →
3 178 m²		 S 79.363139°
E 43.060913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619609832763672 y=0.877857208251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619609832763672 × 217)
    floor (0.619609832763672 × 131072)
    floor (81213.5)     		tx = 81213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877857208251953 × 217)
    floor (0.877857208251953 × 131072)
    floor (115062.5)     		ty = 115062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81213 / 115062 ti = "17/81213/115062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81213/115062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81213 ÷ 217
    81213 ÷ 131072     		x = 0.619606018066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115062 ÷ 217
    115062 ÷ 131072     		y = 0.877853393554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619606018066406 × 2 - 1) × π
    0.239212036132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.75150678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877853393554688 × 2 - 1) × π
    -0.755706787109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.3741228905829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75150678} λ = 0.75150678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3741228905829))-π/2
    2×atan(0.0930961088845365)-π/2
    2×0.0928285477603741-π/2
    0.185657095520748-1.57079632675     		φ = -1.38513923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75150678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.058167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38513923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.362632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81213 KachelY 115062 0.75150678 -1.38513923 43.058167 -79.362632
    Oben rechts KachelX + 1 81214 KachelY 115062 0.75155471 -1.38513923 43.060913 -79.362632
    Unten links KachelX 81213 KachelY + 1 115063 0.75150678 -1.38514808 43.058167 -79.363139
    Unten rechts KachelX + 1 81214 KachelY + 1 115063 0.75155471 -1.38514808 43.060913 -79.363139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38513923--1.38514808) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dl = 56.3833499996762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38513923--1.38514808) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dr = 56.3833499996762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75150678-0.75155471) × cos(-1.38513923) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.184592378029572 × 6371000     		do = 56.3675032775416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75150678-0.75155471) × cos(-1.38514808) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.184583680108109 × 6371000     		du = 56.3648472625867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38513923)-sin(-1.38514808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184592378029572-0.184583680108109)×R²
    abs(0.75155471-0.75150678)×8.69792146335202e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.69792146335202e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.69792146335202e-06×40589641000000     		ar = 3178.11378861051m²