Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81209 / 115018
↖ ↑ ↗
← S 79.340301°
E 43.047180°		 ← 56.48 m → S 79.340301°
E 43.049926°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
S 79.340809°
E 43.047180°		 ← 56.48 m →
3 192 m²		 S 79.340809°
E 43.049926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619579315185547 y=0.877521514892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619579315185547 × 217)
    floor (0.619579315185547 × 131072)
    floor (81209.5)     		tx = 81209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877521514892578 × 217)
    floor (0.877521514892578 × 131072)
    floor (115018.5)     		ty = 115018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81209 / 115018 ti = "17/81209/115018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81209/115018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81209 ÷ 217
    81209 ÷ 131072     		x = 0.619575500488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115018 ÷ 217
    115018 ÷ 131072     		y = 0.877517700195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619575500488281 × 2 - 1) × π
    0.239151000976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.75131503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877517700195312 × 2 - 1) × π
    -0.755035400390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.37201366699962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75131503} λ = 0.75131503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37201366699962))-π/2
    2×atan(0.0932926766226875)-π/2
    2×0.0930234229687647-π/2
    0.186046845937529-1.57079632675     		φ = -1.38474948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75131503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.047180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38474948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.340301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81209 KachelY 115018 0.75131503 -1.38474948 43.047180 -79.340301
    Oben rechts KachelX + 1 81210 KachelY 115018 0.75136296 -1.38474948 43.049926 -79.340301
    Unten links KachelX 81209 KachelY + 1 115019 0.75131503 -1.38475835 43.047180 -79.340809
    Unten rechts KachelX + 1 81210 KachelY + 1 115019 0.75136296 -1.38475835 43.049926 -79.340809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38474948--1.38475835) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dl = 56.5107700003165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38474948--1.38475835) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dr = 56.5107700003165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75131503-0.75136296) × cos(-1.38474948) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18497541621125 × 6371000     		do = 56.4844685943967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75131503-0.75136296) × cos(-1.38475835) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184966699272248 × 6371000     		du = 56.4818067722078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38474948)-sin(-1.38475835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18497541621125-0.184966699272248)×R²
    abs(0.75136296-0.75131503)×8.71693900139636e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.71693900139636e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.71693900139636e-06×40589641000000     		ar = 3191.90560241001m²