Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81201 / 114769
↖ ↑ ↗
← S 79.213052°
E 43.025207°		 ← 57.16 m → S 79.213052°
E 43.027954°		 →
↑
57.15 m
↓
↑
57.15 m
↓
S 79.213565°
E 43.025207°		 ← 57.16 m →
3 267 m²		 S 79.213565°
E 43.027954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619518280029297 y=0.875621795654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619518280029297 × 217)
    floor (0.619518280029297 × 131072)
    floor (81201.5)     		tx = 81201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875621795654297 × 217)
    floor (0.875621795654297 × 131072)
    floor (114769.5)     		ty = 114769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81201 / 114769 ti = "17/81201/114769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81201/114769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81201 ÷ 217
    81201 ÷ 131072     		x = 0.619514465332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114769 ÷ 217
    114769 ÷ 131072     		y = 0.875617980957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619514465332031 × 2 - 1) × π
    0.239028930664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.75093153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875617980957031 × 2 - 1) × π
    -0.751235961914062 × 3.1415926535     		Φ = -2.36007737899422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75093153} λ = 0.75093153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36007737899422))-π/2
    2×atan(0.0944129173370606)-π/2
    2×0.0941338822597433-π/2
    0.188267764519487-1.57079632675     		φ = -1.38252856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75093153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.025207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38252856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.213052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81201 KachelY 114769 0.75093153 -1.38252856 43.025207 -79.213052
    Oben rechts KachelX + 1 81202 KachelY 114769 0.75097947 -1.38252856 43.027954 -79.213052
    Unten links KachelX 81201 KachelY + 1 114770 0.75093153 -1.38253753 43.025207 -79.213565
    Unten rechts KachelX + 1 81202 KachelY + 1 114770 0.75097947 -1.38253753 43.027954 -79.213565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38252856--1.38253753) × R
    8.97000000010806e-06 × 6371000     		dl = 57.1478700006884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38252856--1.38253753) × R
    8.97000000010806e-06 × 6371000     		dr = 57.1478700006884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75093153-0.75097947) × cos(-1.38252856) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187157552135648 × 6371000     		do = 57.1627338575814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75093153-0.75097947) × cos(-1.38253753) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187148740628832 × 6371000     		du = 57.1600425965917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38252856)-sin(-1.38253753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187157552135648-0.187148740628832)×R²
    abs(0.75097947-0.75093153)×8.81150681572573e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.81150681572573e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.81150681572573e-06×40589641000000     		ar = 3266.65158360893m²