Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81200 / 114770
↖ ↑ ↗
← S 79.213565°
E 43.022461°		 ← 57.15 m → S 79.213565°
E 43.025207°		 →
↑
57.15 m
↓
↑
57.15 m
↓
S 79.214079°
E 43.022461°		 ← 57.15 m →
3 266 m²		 S 79.214079°
E 43.025207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619510650634766 y=0.875629425048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619510650634766 × 217)
    floor (0.619510650634766 × 131072)
    floor (81200.5)     		tx = 81200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875629425048828 × 217)
    floor (0.875629425048828 × 131072)
    floor (114770.5)     		ty = 114770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81200 / 114770 ti = "17/81200/114770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81200/114770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81200 ÷ 217
    81200 ÷ 131072     		x = 0.6195068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114770 ÷ 217
    114770 ÷ 131072     		y = 0.875625610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6195068359375 × 2 - 1) × π
    0.239013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.75088360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875625610351562 × 2 - 1) × π
    -0.751251220703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36012531589384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75088360} λ = 0.75088360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36012531589384))-π/2
    2×atan(0.0944083915829956)-π/2
    2×0.09412939648902-π/2
    0.18825879297804-1.57079632675     		φ = -1.38253753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75088360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.022461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38253753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.213565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81200 KachelY 114770 0.75088360 -1.38253753 43.022461 -79.213565
    Oben rechts KachelX + 1 81201 KachelY 114770 0.75093153 -1.38253753 43.025207 -79.213565
    Unten links KachelX 81200 KachelY + 1 114771 0.75088360 -1.38254650 43.022461 -79.214079
    Unten rechts KachelX + 1 81201 KachelY + 1 114771 0.75093153 -1.38254650 43.025207 -79.214079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38253753--1.38254650) × R
    8.96999999988601e-06 × 6371000     		dl = 57.1478699992738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38253753--1.38254650) × R
    8.96999999988601e-06 × 6371000     		dr = 57.1478699992738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75088360-0.75093153) × cos(-1.38253753) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187148740628832 × 6371000     		do = 57.1481193503987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75088360-0.75093153) × cos(-1.38254650) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187139929106959 × 6371000     		du = 57.145428646192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38253753)-sin(-1.38254650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187148740628832-0.187139929106959)×R²
    abs(0.75093153-0.75088360)×8.81152187365286e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.81152187365286e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.81152187365286e-06×40589641000000     		ar = 3265.81641125443m²