Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8120 / 7750
↖ ↑ ↗
← N 79.618118°
W135.395508°		 ← 110.07 m → N 79.618118°
W135.390015°		 →
↑
110.09 m
↓
↑
110.09 m
↓
N 79.617128°
W135.395508°		 ← 110.08 m →
12 118 m²		 N 79.617128°
W135.390015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.123908996582031 y=0.118263244628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.123908996582031 × 216)
    floor (0.123908996582031 × 65536)
    floor (8120.5)     		tx = 8120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118263244628906 × 216)
    floor (0.118263244628906 × 65536)
    floor (7750.5)     		ty = 7750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8120 / 7750 ti = "16/8120/7750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8120/7750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8120 ÷ 216
    8120 ÷ 65536     		x = 0.1239013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7750 ÷ 216
    7750 ÷ 65536     		y = 0.118255615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1239013671875 × 2 - 1) × π
    -0.752197265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.36309740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118255615234375 × 2 - 1) × π
    0.76348876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39857070938913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36309740} λ = -2.36309740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39857070938913))-π/2
    2×atan(11.0074323122436)-π/2
    2×1.48019731938907-π/2
    2.96039463877814-1.57079632675     		φ = 1.38959831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36309740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38959831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.618118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8120 KachelY 7750 -2.36309740 1.38959831 -135.395508 79.618118
    Oben rechts KachelX + 1 8121 KachelY 7750 -2.36300153 1.38959831 -135.390015 79.618118
    Unten links KachelX 8120 KachelY + 1 7751 -2.36309740 1.38958103 -135.395508 79.617128
    Unten rechts KachelX + 1 8121 KachelY + 1 7751 -2.36300153 1.38958103 -135.390015 79.617128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38959831-1.38958103) × R
    1.72800000000084e-05 × 6371000     		dl = 110.090880000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38959831-1.38958103) × R
    1.72800000000084e-05 × 6371000     		dr = 110.090880000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36309740--2.36300153) × cos(1.38959831) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180208105935826 × 6371000     		do = 110.068907160465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36309740--2.36300153) × cos(1.38958103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180225103009511 × 6371000     		du = 110.079288765197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38959831)-sin(1.38958103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180208105935826-0.180225103009511)×R²
    abs(-2.36300153--2.36309740)×1.69970736844105e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.69970736844105e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.69970736844105e-05×40589641000000     		ar = 12118.154310017m²