Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81197 / 115074
↖ ↑ ↗
← S 79.368714°
E 43.014221°		 ← 56.35 m → S 79.368714°
E 43.016968°		 →
↑
56.32 m
↓
↑
56.32 m
↓
S 79.369221°
E 43.014221°		 ← 56.34 m →
3 173 m²		 S 79.369221°
E 43.016968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619487762451172 y=0.877948760986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619487762451172 × 217)
    floor (0.619487762451172 × 131072)
    floor (81197.5)     		tx = 81197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877948760986328 × 217)
    floor (0.877948760986328 × 131072)
    floor (115074.5)     		ty = 115074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81197 / 115074 ti = "17/81197/115074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81197/115074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81197 ÷ 217
    81197 ÷ 131072     		x = 0.619483947753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115074 ÷ 217
    115074 ÷ 131072     		y = 0.877944946289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619483947753906 × 2 - 1) × π
    0.238967895507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.75073978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877944946289062 × 2 - 1) × π
    -0.755889892578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37469813337834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75073978} λ = 0.75073978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37469813337834))-π/2
    2×atan(0.0930425714186142)-π/2
    2×0.0927754700484075-π/2
    0.185550940096815-1.57079632675     		φ = -1.38524539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75073978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.014221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38524539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.368714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81197 KachelY 115074 0.75073978 -1.38524539 43.014221 -79.368714
    Oben rechts KachelX + 1 81198 KachelY 115074 0.75078772 -1.38524539 43.016968 -79.368714
    Unten links KachelX 81197 KachelY + 1 115075 0.75073978 -1.38525423 43.014221 -79.369221
    Unten rechts KachelX + 1 81198 KachelY + 1 115075 0.75078772 -1.38525423 43.016968 -79.369221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38524539--1.38525423) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dl = 56.3196400000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38524539--1.38525423) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dr = 56.3196400000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75073978-0.75078772) × cos(-1.38524539) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.184488041331386 × 6371000     		do = 56.3473965448828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75073978-0.75078772) × cos(-1.38525423) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.184479353064913 × 6371000     		du = 56.3447429246657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38524539)-sin(-1.38525423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184488041331386-0.184479353064913)×R²
    abs(0.75078772-0.75073978)×8.68826647390519e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.68826647390519e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.68826647390519e-06×40589641000000     		ar = 3173.39036286682m²