Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81197 / 115022
↖ ↑ ↗
← S 79.342333°
E 43.014221°		 ← 56.49 m → S 79.342333°
E 43.016968°		 →
↑
56.45 m
↓
↑
56.45 m
↓
S 79.342841°
E 43.014221°		 ← 56.48 m →
3 188 m²		 S 79.342841°
E 43.016968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619487762451172 y=0.877552032470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619487762451172 × 217)
    floor (0.619487762451172 × 131072)
    floor (81197.5)     		tx = 81197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877552032470703 × 217)
    floor (0.877552032470703 × 131072)
    floor (115022.5)     		ty = 115022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81197 / 115022 ti = "17/81197/115022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81197/115022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81197 ÷ 217
    81197 ÷ 131072     		x = 0.619483947753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115022 ÷ 217
    115022 ÷ 131072     		y = 0.877548217773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619483947753906 × 2 - 1) × π
    0.238967895507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.75073978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877548217773438 × 2 - 1) × π
    -0.755096435546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.3722054145981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75073978} λ = 0.75073978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3722054145981))-π/2
    2×atan(0.0932747896909322)-π/2
    2×0.0930056903437394-π/2
    0.186011380687479-1.57079632675     		φ = -1.38478495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75073978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.014221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38478495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.342333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81197 KachelY 115022 0.75073978 -1.38478495 43.014221 -79.342333
    Oben rechts KachelX + 1 81198 KachelY 115022 0.75078772 -1.38478495 43.016968 -79.342333
    Unten links KachelX 81197 KachelY + 1 115023 0.75073978 -1.38479381 43.014221 -79.342841
    Unten rechts KachelX + 1 81198 KachelY + 1 115023 0.75078772 -1.38479381 43.016968 -79.342841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38478495--1.38479381) × R
    8.8599999998884e-06 × 6371000     		dl = 56.447059999289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38478495--1.38479381) × R
    8.8599999998884e-06 × 6371000     		dr = 56.447059999289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75073978-0.75078772) × cos(-1.38478495) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.184940558195428 × 6371000     		do = 56.4856068429456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75073978-0.75078772) × cos(-1.38479381) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.184931851025751 × 6371000     		du = 56.4829474492035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38478495)-sin(-1.38479381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184940558195428-0.184931851025751)×R²
    abs(0.75078772-0.75073978)×8.70716967768526e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.70716967768526e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.70716967768526e-06×40589641000000     		ar = 3188.37138114699m²