Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81196 / 115075
↖ ↑ ↗
← S 79.369221°
E 43.011475°		 ← 56.33 m → S 79.369221°
E 43.014221°		 →
↑
56.32 m
↓
↑
56.32 m
↓
S 79.369727°
E 43.011475°		 ← 56.33 m →
3 173 m²		 S 79.369727°
E 43.014221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619480133056641 y=0.877956390380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619480133056641 × 217)
    floor (0.619480133056641 × 131072)
    floor (81196.5)     		tx = 81196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877956390380859 × 217)
    floor (0.877956390380859 × 131072)
    floor (115075.5)     		ty = 115075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81196 / 115075 ti = "17/81196/115075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81196/115075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81196 ÷ 217
    81196 ÷ 131072     		x = 0.619476318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115075 ÷ 217
    115075 ÷ 131072     		y = 0.877952575683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619476318359375 × 2 - 1) × π
    0.23895263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.75069185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877952575683594 × 2 - 1) × π
    -0.755905151367188 × 3.1415926535     		Φ = -2.37474607027796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75069185} λ = 0.75069185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37474607027796))-π/2
    2×atan(0.0930381113531094)-π/2
    2×0.0927710482601356-π/2
    0.185542096520271-1.57079632675     		φ = -1.38525423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75069185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.011475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38525423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.369221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81196 KachelY 115075 0.75069185 -1.38525423 43.011475 -79.369221
    Oben rechts KachelX + 1 81197 KachelY 115075 0.75073978 -1.38525423 43.014221 -79.369221
    Unten links KachelX 81196 KachelY + 1 115076 0.75069185 -1.38526307 43.011475 -79.369727
    Unten rechts KachelX + 1 81197 KachelY + 1 115076 0.75073978 -1.38526307 43.014221 -79.369727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38525423--1.38526307) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dl = 56.3196400000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38525423--1.38526307) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dr = 56.3196400000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75069185-0.75073978) × cos(-1.38525423) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.184479353064913 × 6371000     		do = 56.3329897448924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75069185-0.75073978) × cos(-1.38526307) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.184470664784022 × 6371000     		du = 56.3303366738026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38525423)-sin(-1.38526307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184479353064913-0.184470664784022)×R²
    abs(0.75073978-0.75069185)×8.68828089015117e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.68828089015117e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.68828089015117e-06×40589641000000     		ar = 3172.57899275456m²