Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81196 / 114845
↖ ↑ ↗
← S 79.252049°
E 43.011475°		 ← 56.95 m → S 79.252049°
E 43.014221°		 →
↑
56.96 m
↓
↑
56.96 m
↓
S 79.252562°
E 43.011475°		 ← 56.94 m →
3 243 m²		 S 79.252562°
E 43.014221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619480133056641 y=0.876201629638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619480133056641 × 217)
    floor (0.619480133056641 × 131072)
    floor (81196.5)     		tx = 81196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876201629638672 × 217)
    floor (0.876201629638672 × 131072)
    floor (114845.5)     		ty = 114845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81196 / 114845 ti = "17/81196/114845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81196/114845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81196 ÷ 217
    81196 ÷ 131072     		x = 0.619476318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114845 ÷ 217
    114845 ÷ 131072     		y = 0.876197814941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619476318359375 × 2 - 1) × π
    0.23895263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.75069185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876197814941406 × 2 - 1) × π
    -0.752395629882812 × 3.1415926535     		Φ = -2.36372058336535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75069185} λ = 0.75069185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36372058336535))-π/2
    2×atan(0.0940695775921179)-π/2
    2×0.0937935650159254-π/2
    0.187587130031851-1.57079632675     		φ = -1.38320920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75069185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.011475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38320920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.252049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81196 KachelY 114845 0.75069185 -1.38320920 43.011475 -79.252049
    Oben rechts KachelX + 1 81197 KachelY 114845 0.75073978 -1.38320920 43.014221 -79.252049
    Unten links KachelX 81196 KachelY + 1 114846 0.75069185 -1.38321814 43.011475 -79.252562
    Unten rechts KachelX + 1 81197 KachelY + 1 114846 0.75073978 -1.38321814 43.014221 -79.252562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38320920--1.38321814) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dl = 56.9567400004354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38320920--1.38321814) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dr = 56.9567400004354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75069185-0.75073978) × cos(-1.38320920) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.186488895805503 × 6371000     		do = 56.9466277955297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75069185-0.75073978) × cos(-1.38321814) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.186480112631856 × 6371000     		du = 56.9439457477953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38320920)-sin(-1.38321814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186488895805503-0.186480112631856)×R²
    abs(0.75073978-0.75069185)×8.7831736461097e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.7831736461097e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.7831736461097e-06×40589641000000     		ar = 3243.41789298098m²