Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81195 / 115019
↖ ↑ ↗
← S 79.340809°
E 43.008728°		 ← 56.49 m → S 79.340809°
E 43.011475°		 →
↑
56.45 m
↓
↑
56.45 m
↓
S 79.341317°
E 43.008728°		 ← 56.49 m →
3 189 m²		 S 79.341317°
E 43.011475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619472503662109 y=0.877529144287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619472503662109 × 217)
    floor (0.619472503662109 × 131072)
    floor (81195.5)     		tx = 81195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877529144287109 × 217)
    floor (0.877529144287109 × 131072)
    floor (115019.5)     		ty = 115019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81195 / 115019 ti = "17/81195/115019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81195/115019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81195 ÷ 217
    81195 ÷ 131072     		x = 0.619468688964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115019 ÷ 217
    115019 ÷ 131072     		y = 0.877525329589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619468688964844 × 2 - 1) × π
    0.238937377929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.75064391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877525329589844 × 2 - 1) × π
    -0.755050659179688 × 3.1415926535     		Φ = -2.37206160389924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75064391} λ = 0.75064391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37206160389924))-π/2
    2×atan(0.093288204568202)-π/2
    2×0.0930189894992359-π/2
    0.186037978998472-1.57079632675     		φ = -1.38475835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75064391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.008728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38475835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.340809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81195 KachelY 115019 0.75064391 -1.38475835 43.008728 -79.340809
    Oben rechts KachelX + 1 81196 KachelY 115019 0.75069185 -1.38475835 43.011475 -79.340809
    Unten links KachelX 81195 KachelY + 1 115020 0.75064391 -1.38476721 43.008728 -79.341317
    Unten rechts KachelX + 1 81196 KachelY + 1 115020 0.75069185 -1.38476721 43.011475 -79.341317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38475835--1.38476721) × R
    8.8599999998884e-06 × 6371000     		dl = 56.447059999289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38475835--1.38476721) × R
    8.8599999998884e-06 × 6371000     		dr = 56.447059999289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75064391-0.75069185) × cos(-1.38475835) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.184966699272248 × 6371000     		do = 56.4935910006777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75064391-0.75069185) × cos(-1.38476721) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.184957992146159 × 6371000     		du = 56.4909316202485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38475835)-sin(-1.38476721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184966699272248-0.184957992146159)×R²
    abs(0.75069185-0.75064391)×8.70712608955215e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.70712608955215e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.70712608955215e-06×40589641000000     		ar = 3188.82206383455m²