Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81194 / 115080
↖ ↑ ↗
← S 79.371754°
E 43.005981°		 ← 56.33 m → S 79.371754°
E 43.008728°		 →
↑
56.32 m
↓
↑
56.32 m
↓
S 79.372260°
E 43.005981°		 ← 56.33 m →
3 172 m²		 S 79.372260°
E 43.008728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619464874267578 y=0.877994537353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619464874267578 × 217)
    floor (0.619464874267578 × 131072)
    floor (81194.5)     		tx = 81194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877994537353516 × 217)
    floor (0.877994537353516 × 131072)
    floor (115080.5)     		ty = 115080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81194 / 115080 ti = "17/81194/115080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81194/115080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81194 ÷ 217
    81194 ÷ 131072     		x = 0.619461059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115080 ÷ 217
    115080 ÷ 131072     		y = 0.87799072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619461059570312 × 2 - 1) × π
    0.238922119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.75059597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87799072265625 × 2 - 1) × π
    -0.7559814453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37498575477606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75059597} λ = 0.75059597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37498575477606))-π/2
    2×atan(0.0930158142323293)-π/2
    2×0.0927489424434435-π/2
    0.185497884886887-1.57079632675     		φ = -1.38529844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75059597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.005981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38529844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.371754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81194 KachelY 115080 0.75059597 -1.38529844 43.005981 -79.371754
    Oben rechts KachelX + 1 81195 KachelY 115080 0.75064391 -1.38529844 43.008728 -79.371754
    Unten links KachelX 81194 KachelY + 1 115081 0.75059597 -1.38530728 43.005981 -79.372260
    Unten rechts KachelX + 1 81195 KachelY + 1 115081 0.75064391 -1.38530728 43.008728 -79.372260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38529844--1.38530728) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dl = 56.3196400000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38529844--1.38530728) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dr = 56.3196400000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75059597-0.75064391) × cos(-1.38529844) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184435901687867 × 6371000     		do = 56.3314717555472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75059597-0.75064391) × cos(-1.38530728) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18442721333489 × 6371000     		du = 56.3288181089097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38529844)-sin(-1.38530728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184435901687867-0.18442721333489)×R²
    abs(0.75064391-0.75059597)×8.68835297754278e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.68835297754278e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.68835297754278e-06×40589641000000     		ar = 3172.49348366047m²