Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81194 / 114846
↖ ↑ ↗
← S 79.252562°
E 43.005981°		 ← 56.96 m → S 79.252562°
E 43.008728°		 →
↑
56.96 m
↓
↑
56.96 m
↓
S 79.253074°
E 43.005981°		 ← 56.95 m →
3 244 m²		 S 79.253074°
E 43.008728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619464874267578 y=0.876209259033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619464874267578 × 217)
    floor (0.619464874267578 × 131072)
    floor (81194.5)     		tx = 81194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876209259033203 × 217)
    floor (0.876209259033203 × 131072)
    floor (114846.5)     		ty = 114846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81194 / 114846 ti = "17/81194/114846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81194/114846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81194 ÷ 217
    81194 ÷ 131072     		x = 0.619461059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114846 ÷ 217
    114846 ÷ 131072     		y = 0.876205444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619461059570312 × 2 - 1) × π
    0.238922119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.75059597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876205444335938 × 2 - 1) × π
    -0.752410888671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36376852026497
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75059597} λ = 0.75059597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36376852026497))-π/2
    2×atan(0.0940650682963013)-π/2
    2×0.0937890952713642-π/2
    0.187578190542728-1.57079632675     		φ = -1.38321814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75059597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.005981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38321814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.252562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81194 KachelY 114846 0.75059597 -1.38321814 43.005981 -79.252562
    Oben rechts KachelX + 1 81195 KachelY 114846 0.75064391 -1.38321814 43.008728 -79.252562
    Unten links KachelX 81194 KachelY + 1 114847 0.75059597 -1.38322708 43.005981 -79.253074
    Unten rechts KachelX + 1 81195 KachelY + 1 114847 0.75064391 -1.38322708 43.008728 -79.253074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38321814--1.38322708) × R
    8.93999999984629e-06 × 6371000     		dl = 56.9567399990207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38321814--1.38322708) × R
    8.93999999984629e-06 × 6371000     		dr = 56.9567399990207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75059597-0.75064391) × cos(-1.38321814) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186480112631856 × 6371000     		do = 56.9558263958307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75059597-0.75064391) × cos(-1.38322708) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186471329443306 × 6371000     		du = 56.9531437839683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38321814)-sin(-1.38322708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186480112631856-0.186471329443306)×R²
    abs(0.75064391-0.75059597)×8.78318855007665e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.78318855007665e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.78318855007665e-06×40589641000000     		ar = 3243.94179899569m²