Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81193 / 114920
↖ ↑ ↗
← S 79.290397°
E 43.003235°		 ← 56.75 m → S 79.290397°
E 43.005981°		 →
↑
56.77 m
↓
↑
56.77 m
↓
S 79.290907°
E 43.003235°		 ← 56.74 m →
3 221 m²		 S 79.290907°
E 43.005981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619457244873047 y=0.876773834228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619457244873047 × 217)
    floor (0.619457244873047 × 131072)
    floor (81193.5)     		tx = 81193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876773834228516 × 217)
    floor (0.876773834228516 × 131072)
    floor (114920.5)     		ty = 114920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81193 / 114920 ti = "17/81193/114920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81193/114920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81193 ÷ 217
    81193 ÷ 131072     		x = 0.619453430175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114920 ÷ 217
    114920 ÷ 131072     		y = 0.87677001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619453430175781 × 2 - 1) × π
    0.238906860351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.75054804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87677001953125 × 2 - 1) × π
    -0.7535400390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36731585083685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75054804} λ = 0.75054804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36731585083685))-π/2
    2×atan(0.0937319795410364)-π/2
    2×0.0934589176727425-π/2
    0.186917835345485-1.57079632675     		φ = -1.38387849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75054804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.003235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38387849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.290397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81193 KachelY 114920 0.75054804 -1.38387849 43.003235 -79.290397
    Oben rechts KachelX + 1 81194 KachelY 114920 0.75059597 -1.38387849 43.005981 -79.290397
    Unten links KachelX 81193 KachelY + 1 114921 0.75054804 -1.38388740 43.003235 -79.290907
    Unten rechts KachelX + 1 81194 KachelY + 1 114921 0.75059597 -1.38388740 43.005981 -79.290907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38387849--1.38388740) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dl = 56.7656100001823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38387849--1.38388740) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dr = 56.7656100001823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75054804-0.75059597) × cos(-1.38387849) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185831305394351 × 6371000     		do = 56.7458246528039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75054804-0.75059597) × cos(-1.38388740) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185822550584351 × 6371000     		du = 56.7431512662499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38387849)-sin(-1.38388740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185831305394351-0.185822550584351)×R²
    abs(0.75059597-0.75054804)×8.75481000031653e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.75481000031653e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.75481000031653e-06×40589641000000     		ar = 3221.13547302807m²