Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81192 / 114888
↖ ↑ ↗
← S 79.274051°
E 43.000488°		 ← 56.84 m → S 79.274051°
E 43.003235°		 →
↑
56.89 m
↓
↑
56.89 m
↓
S 79.274563°
E 43.000488°		 ← 56.84 m →
3 234 m²		 S 79.274563°
E 43.003235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619449615478516 y=0.876529693603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619449615478516 × 217)
    floor (0.619449615478516 × 131072)
    floor (81192.5)     		tx = 81192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876529693603516 × 217)
    floor (0.876529693603516 × 131072)
    floor (114888.5)     		ty = 114888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81192 / 114888 ti = "17/81192/114888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81192/114888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81192 ÷ 217
    81192 ÷ 131072     		x = 0.61944580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114888 ÷ 217
    114888 ÷ 131072     		y = 0.87652587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61944580078125 × 2 - 1) × π
    0.2388916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.75050010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87652587890625 × 2 - 1) × π
    -0.7530517578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36578187004901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75050010} λ = 0.75050010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36578187004901))-π/2
    2×atan(0.0938758729334923)-π/2
    2×0.0936015559654367-π/2
    0.187203111930873-1.57079632675     		φ = -1.38359321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75050010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.000488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38359321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.274051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81192 KachelY 114888 0.75050010 -1.38359321 43.000488 -79.274051
    Oben rechts KachelX + 1 81193 KachelY 114888 0.75054804 -1.38359321 43.003235 -79.274051
    Unten links KachelX 81192 KachelY + 1 114889 0.75050010 -1.38360214 43.000488 -79.274563
    Unten rechts KachelX + 1 81193 KachelY + 1 114889 0.75054804 -1.38360214 43.003235 -79.274563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38359321--1.38360214) × R
    8.93000000012911e-06 × 6371000     		dl = 56.8930300008226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38359321--1.38360214) × R
    8.93000000012911e-06 × 6371000     		dr = 56.8930300008226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75050010-0.75054804) × cos(-1.38359321) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186111608725673 × 6371000     		do = 56.8432758175919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75050010-0.75054804) × cos(-1.38360214) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186102834737767 × 6371000     		du = 56.8405960158429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38359321)-sin(-1.38360214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186111608725673-0.186102834737767)×R²
    abs(0.75054804-0.75050010)×8.77398790635753e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.77398790635753e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.77398790635753e-06×40589641000000     		ar = 3233.90996559841m²