Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81191 / 114919
↖ ↑ ↗
← S 79.289886°
E 42.997741°		 ← 56.76 m → S 79.289886°
E 43.000488°		 →
↑
56.77 m
↓
↑
56.77 m
↓
S 79.290397°
E 42.997741°		 ← 56.76 m →
3 222 m²		 S 79.290397°
E 43.000488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619441986083984 y=0.876766204833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619441986083984 × 217)
    floor (0.619441986083984 × 131072)
    floor (81191.5)     		tx = 81191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876766204833984 × 217)
    floor (0.876766204833984 × 131072)
    floor (114919.5)     		ty = 114919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81191 / 114919 ti = "17/81191/114919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81191/114919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81191 ÷ 217
    81191 ÷ 131072     		x = 0.619438171386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114919 ÷ 217
    114919 ÷ 131072     		y = 0.876762390136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619438171386719 × 2 - 1) × π
    0.238876342773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.75045216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876762390136719 × 2 - 1) × π
    -0.753524780273438 × 3.1415926535     		Φ = -2.36726791393723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75045216} λ = 0.75045216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36726791393723))-π/2
    2×atan(0.0937364728692281)-π/2
    2×0.0934633718659245-π/2
    0.186926743731849-1.57079632675     		φ = -1.38386958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75045216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.997741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38386958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.289886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81191 KachelY 114919 0.75045216 -1.38386958 42.997741 -79.289886
    Oben rechts KachelX + 1 81192 KachelY 114919 0.75050010 -1.38386958 43.000488 -79.289886
    Unten links KachelX 81191 KachelY + 1 114920 0.75045216 -1.38387849 42.997741 -79.290397
    Unten rechts KachelX + 1 81192 KachelY + 1 114920 0.75050010 -1.38387849 43.000488 -79.290397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38386958--1.38387849) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dl = 56.7656100001823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38386958--1.38387849) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dr = 56.7656100001823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75045216-0.75050010) × cos(-1.38386958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185840060189599 × 6371000     		do = 56.7603379050156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75045216-0.75050010) × cos(-1.38387849) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185831305394351 × 6371000     		du = 56.7576639651986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38386958)-sin(-1.38387849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185840060189599-0.185831305394351)×R²
    abs(0.75050010-0.75045216)×8.75479524750644e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.75479524750644e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.75479524750644e-06×40589641000000     		ar = 3221.95931111208m²