Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81190 / 114918
↖ ↑ ↗
← S 79.289376°
E 42.994995°		 ← 56.75 m → S 79.289376°
E 42.997741°		 →
↑
56.77 m
↓
↑
56.77 m
↓
S 79.289886°
E 42.994995°		 ← 56.75 m →
3 221 m²		 S 79.289886°
E 42.997741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619434356689453 y=0.876758575439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619434356689453 × 217)
    floor (0.619434356689453 × 131072)
    floor (81190.5)     		tx = 81190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876758575439453 × 217)
    floor (0.876758575439453 × 131072)
    floor (114918.5)     		ty = 114918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81190 / 114918 ti = "17/81190/114918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81190/114918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81190 ÷ 217
    81190 ÷ 131072     		x = 0.619430541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114918 ÷ 217
    114918 ÷ 131072     		y = 0.876754760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619430541992188 × 2 - 1) × π
    0.238861083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.75040423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876754760742188 × 2 - 1) × π
    -0.753509521484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36721997703761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75040423} λ = 0.75040423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36721997703761))-π/2
    2×atan(0.0937409664128212)-π/2
    2×0.0934678262689121-π/2
    0.186935652537824-1.57079632675     		φ = -1.38386067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75040423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.994995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38386067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.289376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81190 KachelY 114918 0.75040423 -1.38386067 42.994995 -79.289376
    Oben rechts KachelX + 1 81191 KachelY 114918 0.75045216 -1.38386067 42.997741 -79.289376
    Unten links KachelX 81190 KachelY + 1 114919 0.75040423 -1.38386958 42.994995 -79.289886
    Unten rechts KachelX + 1 81191 KachelY + 1 114919 0.75045216 -1.38386958 42.997741 -79.289886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38386067--1.38386958) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dl = 56.7656100001823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38386067--1.38386958) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dr = 56.7656100001823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75040423-0.75045216) × cos(-1.38386067) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185848814970093 × 6371000     		do = 56.7511714123967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75040423-0.75045216) × cos(-1.38386958) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185840060189599 × 6371000     		du = 56.7484980348529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38386067)-sin(-1.38386958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185848814970093-0.185840060189599)×R²
    abs(0.75045216-0.75040423)×8.75478049403022e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.75478049403022e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.75478049403022e-06×40589641000000     		ar = 3221.43898552192m²