Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8119 / 3961
↖ ↑ ↗
← N 67.667737°
W  1.604004°		 ← 928.39 m → N 67.667737°
W  1.582031°		 →
↑
928.57 m
↓
↑
928.57 m
↓
N 67.659386°
W  1.604004°		 ← 928.72 m →
862 231 m²		 N 67.659386°
W  1.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495574951171875 y=0.241790771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495574951171875 × 214)
    floor (0.495574951171875 × 16384)
    floor (8119.5)     		tx = 8119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241790771484375 × 214)
    floor (0.241790771484375 × 16384)
    floor (3961.5)     		ty = 3961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8119 / 3961 ti = "14/8119/3961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8119/3961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8119 ÷ 214
    8119 ÷ 16384     		x = 0.49554443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3961 ÷ 214
    3961 ÷ 16384     		y = 0.24176025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49554443359375 × 2 - 1) × π
    -0.0089111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02799515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24176025390625 × 2 - 1) × π
    0.5164794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.62256817833966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02799515} λ = -0.02799515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62256817833966))-π/2
    2×atan(5.06608423186731)-π/2
    2×1.37591056702419-π/2
    2.75182113404837-1.57079632675     		φ = 1.18102481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02799515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.604004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18102481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.667737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8119 KachelY 3961 -0.02799515 1.18102481 -1.604004 67.667737
    Oben rechts KachelX + 1 8120 KachelY 3961 -0.02761165 1.18102481 -1.582031 67.667737
    Unten links KachelX 8119 KachelY + 1 3962 -0.02799515 1.18087906 -1.604004 67.659386
    Unten rechts KachelX + 1 8120 KachelY + 1 3962 -0.02761165 1.18087906 -1.582031 67.659386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18102481-1.18087906) × R
    0.000145749999999945 × 6371000     		dl = 928.573249999647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18102481-1.18087906) × R
    0.000145749999999945 × 6371000     		dr = 928.573249999647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02799515--0.02761165) × cos(1.18102481) × R
    0.000383499999999998 × 0.379977079014787 × 6371000     		do = 928.389827649628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02799515--0.02761165) × cos(1.18087906) × R
    0.000383499999999998 × 0.380111893131144 × 6371000     		du = 928.719216081618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18102481)-sin(1.18087906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379977079014787-0.380111893131144)×R²
    abs(-0.02761165--0.02799515)×0.000134814116356408×R²
    0.000383499999999998×0.000134814116356408×6371000²
    0.000383499999999998×0.000134814116356408×40589641000000     		ar = 862230.891695399m²