Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81189 / 114917
↖ ↑ ↗
← S 79.288865°
E 42.992249°		 ← 56.77 m → S 79.288865°
E 42.994995°		 →
↑
56.77 m
↓
↑
56.77 m
↓
S 79.289376°
E 42.992249°		 ← 56.76 m →
3 222 m²		 S 79.289376°
E 42.994995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619426727294922 y=0.876750946044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619426727294922 × 217)
    floor (0.619426727294922 × 131072)
    floor (81189.5)     		tx = 81189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876750946044922 × 217)
    floor (0.876750946044922 × 131072)
    floor (114917.5)     		ty = 114917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81189 / 114917 ti = "17/81189/114917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81189/114917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81189 ÷ 217
    81189 ÷ 131072     		x = 0.619422912597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114917 ÷ 217
    114917 ÷ 131072     		y = 0.876747131347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619422912597656 × 2 - 1) × π
    0.238845825195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.75035629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876747131347656 × 2 - 1) × π
    -0.753494262695312 × 3.1415926535     		Φ = -2.36717204013799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75035629} λ = 0.75035629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36717204013799))-π/2
    2×atan(0.093745460171826)-π/2
    2×0.0934722808817149-π/2
    0.18694456176343-1.57079632675     		φ = -1.38385176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75035629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.992249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38385176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.288865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81189 KachelY 114917 0.75035629 -1.38385176 42.992249 -79.288865
    Oben rechts KachelX + 1 81190 KachelY 114917 0.75040423 -1.38385176 42.994995 -79.288865
    Unten links KachelX 81189 KachelY + 1 114918 0.75035629 -1.38386067 42.992249 -79.289376
    Unten rechts KachelX + 1 81190 KachelY + 1 114918 0.75040423 -1.38386067 42.994995 -79.289376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38385176--1.38386067) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dl = 56.7656100001823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38385176--1.38386067) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dr = 56.7656100001823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75035629-0.75040423) × cos(-1.38385176) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185857569735833 × 6371000     		do = 56.7656857711311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75035629-0.75040423) × cos(-1.38386067) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185848814970093 × 6371000     		du = 56.7630118403265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38385176)-sin(-1.38386067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185857569735833-0.185848814970093)×R²
    abs(0.75040423-0.75035629)×8.75476573983236e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.75476573983236e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.75476573983236e-06×40589641000000     		ar = 3222.26288628195m²